Wynik z

Ten samouczek dotyczy standaryzacji z (transformacji z). Omawiamy, czym jest wynik z, jak działa standaryzacja z i czym jest standardowy rozkład normalny. Wyjaśniamy także, czym jest tabela wyników z i do czego się jej używa.

Czym jest standaryzacja z?

Standaryzacja z to procedura statystyczna służąca do porównywania punktów danych z różnych zbiorów danych. W tej procedurze każdy punkt danych jest przekształcany na wynik z. Wynik z wskazuje, o ile odchyleń standardowych dany punkt danych znajduje się od średniej zbioru danych.

Przykład standaryzacji z

Załóżmy, że jesteś lekarzem i chcesz zbadać ciśnienie krwi swoich pacjentów. W tym celu zmierzono ciśnienie krwi w próbie 40 pacjentów. Na podstawie zmierzonych danych można oczywiście obliczyć średnią, czyli wartość, jaką przeciętnie mają ci 40 pacjenci.

Teraz jeden z pacjentów pyta, jak wysokie jest jego ciśnienie krwi w porównaniu z innymi. Mówisz mu, że jego ciśnienie krwi jest o 10 mmHg wyższe od średniej. Pojawia się więc pytanie: czy 10 mmHg to dużo, czy mało?

Jeśli wartości u pozostałych pacjentów są bardzo blisko średniej, to 10 mmHg jest dużą różnicą w odniesieniu do rozproszenia. Jeśli jednak wartości u pozostałych pacjentów są szeroko rozproszone wokół średniej, 10 mmHg może nie być aż tak dużą różnicą.

Odchylenie standardowe mówi nam, jak bardzo dane są rozproszone. Jeśli dane leżą blisko średniej, mamy małe odchylenie standardowe; jeśli są szeroko rozproszone, mamy duże odchylenie standardowe.

Załóżmy, że dla naszych danych otrzymujemy odchylenie standardowe 20 mmHg. Opisuje ono typową wielkość odchyleń wartości od średniej.

Wynik z mówi nam teraz, jak daleko dana osoba znajduje się od średniej w jednostkach odchylenia standardowego. Osoba, która odchyla się od średniej o jedno odchylenie standardowe, ma więc wynik z równy 1. Osoba, która jest dwa razy dalej od średniej, ma wynik z równy 2. A osoba oddalona od średniej o trzy odchylenia standardowe ma wynik z równy 3.

Osoba, która odchyla się o minus jedno odchylenie standardowe, ma wynik z równy -1, osoba odchylająca się o minus dwa odchylenia standardowe ma wynik z równy -2, a osoba odchylająca się o minus trzy odchylenia standardowe ma wynik z równy -3.

Jeśli dana osoba ma dokładnie wartość średniej, to odchyla się od średniej o zero odchyleń standardowych i otrzymuje wynik równy zero.

Wynik z wskazuje zatem, o ile odchyleń standardowych pomiar znajduje się od średniej. Jak wspomniano, odchylenie standardowe jest miarą rozproszenia ciśnienia krwi pacjentów wokół średniej.

Krótko mówiąc, wynik z pomaga zrozumieć, jak wyjątkowy lub typowy jest dany pomiar w porównaniu z ogólną średnią.

Obliczanie wyniku z

Jak obliczamy wynik z? Chcemy przekształcić dane pierwotne, w naszym przypadku ciśnienie krwi, na wyniki z, czyli przeprowadzić standaryzację z.

Tutaj widzimy wzór na standaryzację z. We wzorze z oznacza wartość z, którą chcemy obliczyć, x to wartość obserwowana (ciśnienie krwi danej osoby), μ to średnia populacji, a σ to odchylenie standardowe populacji.

Uwaga: Jeśli standaryzujemy wyłącznie dane z próby, we wzorze używamy średniej i odchylenia standardowego obliczonych dla tej próby. Zwykle oznacza się je jako x z kreską i s.

Załóżmy, że 40 pacjentów w naszym przykładzie ma średnią wartość 130 i odchylenie standardowe 20. Jeśli użyjemy obu wartości, otrzymamy dla z: x - 130 podzielone przez 20.

Teraz możemy podstawić ciśnienie krwi każdego pacjenta jako x i obliczyć wartość z. Zróbmy to dla pierwszego pacjenta. Załóżmy, że ten pacjent ma ciśnienie krwi 97; wtedy po prostu podstawiamy 97 za x i otrzymujemy wartość z równą -1.65.

Ta osoba odchyla się więc od średniej o -1.65 odchylenia standardowego. Możemy teraz zrobić to dla wszystkich pacjentów.

Niezależnie od jednostki danych wyjściowych mamy teraz zestawienie, w którym widzimy, jak daleko dana osoba odchyla się od średniej w jednostkach odchylenia standardowego.

Jeśli rozkład ciśnienia krwi w populacji jest normalny i znamy jego średnią oraz odchylenie standardowe, możemy użyć wartości z, aby określić na przykład, jaki odsetek pacjentów ma ciśnienie krwi niższe niż 110, a jaki odsetek ma wartość wyższą niż 110. Parametry populacji można również oszacować na podstawie próby, ale otrzymany wynik jest wtedy przybliżeniem.

Ale jak to działa? Jeśli dane wyjściowe mają rozkład normalny, to dzięki standaryzacji z otrzymujemy tak zwany standardowy rozkład normalny.

Standardowy rozkład normalny to szczególny typ rozkładu normalnego ze średnią równą 0 i odchyleniem standardowym równym 1.

Szczególna cecha polega na tym, że każdy rozkład normalny, niezależnie od jego średniej lub odchylenia standardowego, można przekształcić w standardowy rozkład normalny.

Ponieważ mamy teraz rozkład wystandaryzowany, potrzebujemy właściwie tylko tabeli, która mówi nam, jaki odsetek wartości znajduje się poniżej danej wartości z.

Taką tabelę można znaleźć w niemal każdym podręczniku statystyki albo tutaj: Tabela rozkładu z. Oczywiście pojawia się teraz pytanie, jak czytać tę tabelę.

Jeśli na przykład mamy wartość z równą -2, możemy odczytać z tej tabeli wartość 0.0228.

Oznacza to, że 2.28% wartości jest mniejszych niż wartość z równa -2. Ponieważ całość zawsze wynosi 100% lub 1, 97.72% wartości jest większych.

Przy wartości z równej zero znajdujemy się dokładnie pośrodku i otrzymujemy wartość 0.5. Dlatego 50% wartości jest mniejszych niż wartość z równa 0, a 50% wartości jest większych niż 0. Ponieważ rozkład normalny jest symetryczny, możemy dokładnie odczytać prawdopodobieństwa dla dodatnich wartości z.

Jeśli mamy wartość z równą 1, wystarczy wyszukać -1. Musimy jednak pamiętać, że w tym przypadku otrzymujemy wartość mówiącą, jaki odsetek wartości jest większy od wartości z. Zatem przy wartości z równej 1, 15.81% wartości jest większych, a 84.14% wartości jest mniejszych.

A co, jeśli na przykład chcemy odczytać w tabeli wartość z równą -1.81? Potrzebujemy do tego pozostałych kolumn. Wartość z równą -1.81 odczytujemy przy -1.8 oraz przy 0.01.

Wróćmy teraz do przykładu z ciśnieniem krwi. Jeśli chcemy wiedzieć, jaki odsetek pacjentów ma ciśnienie krwi poniżej 123, możemy użyć standaryzacji z, aby przekształcić ciśnienie krwi 123 w wartość z; w tym przypadku otrzymujemy wartość z równą -0.35.

Teraz możemy wziąć tabelę rozkładu z i wyszukać wartość z równą -0.35. Otrzymujemy tu wartość 0.3632. Oznacza to, że 36.32 procent wartości jest mniejszych niż wartość z równa -0.35, a 63.68 procent jest większych.

Porównywanie różnych zbiorów danych za pomocą wyniku z

Standaryzacja z ma jeszcze jedno ważne zastosowanie: może pomóc porównywać wartości mierzone na różne sposoby. Oto przykład.

Załóżmy, że mamy dwie klasy, klasę A i klasę B, które pisały różne testy z matematyki.

Testy są skonstruowane inaczej, mają różny poziom trudności i różną maksymalną liczbę punktów.

Aby sprawiedliwie porównać wyniki uczniów z obu klas, możemy zastosować standaryzację z.

Średni wynik, czyli średnia liczba punktów w klasie A, wynosił 70 punktów przy odchyleniu standardowym 10 punktów. Średni wynik testu w klasie B wynosił 140 punktów przy odchyleniu standardowym 20 punktów.

Chcemy teraz porównać wynik Maxa z klasy A, który uzyskał 80 punktów, z wynikiem Emmy z klasy B, która uzyskała 160 punktów.

W tym celu po prostu obliczamy wartość z dla Maxa i Emmy. Najpierw podstawiamy 80 za x i otrzymujemy wartość z równą 1. Następnie podstawiamy 160 za x i również otrzymujemy wartość z równą 1.

Wartości z Maxa i Emmy są więc takie same. Oznacza to, że oboje uczniowie uzyskali równie dobry wynik w odniesieniu do średniego wyniku i rozproszenia w swoich klasach. Oboje znajdują się dokładnie jedno odchylenie standardowe powyżej średniej swojej klasy.

Założenia

A co z założeniami? Czy możemy po prostu obliczyć standaryzację z i użyć tabeli standardowego rozkładu normalnego?

Sama standaryzacja z, czyli przekształcenie punktów danych na wartości z za pomocą tego wzoru, zasadniczo nie podlega żadnym ścisłym warunkom. Można ją przeprowadzić niezależnie od rozkładu danych.

Jeśli jednak na podstawie wartości z chcemy odczytywać prawdopodobieństwa dla pojedynczych obserwacji z tabeli standardowego rozkładu normalnego, populacja powinna mieć rozkład normalny.

Dokładne obliczenia dla pojedynczych obserwacji wymagają znajomości średniej (μ) i odchylenia standardowego (σ) populacji.

Ponieważ w praktyce średnia i odchylenie standardowe populacji zwykle nie są znane, często szacuje się je na podstawie próby. Trzeba wtedy pamiętać, że uzyskane prawdopodobieństwa są przybliżone.

Centralne twierdzenie graniczne dotyczy rozkładu średnich z wielu prób, a nie rozkładu pojedynczych obserwacji. Nie oznacza więc, że po przekroczeniu 30 obserwacji każdy rozkład danych można traktować jako normalny.

Gdy odchylenie standardowe jest szacowane na podstawie próby, zwykle zapisuje się s zamiast σ, a dla średniej x z kreską zamiast μ.

Standaryzacji z nie należy mylić z testem z ani z testem t. Jeśli chcesz wiedzieć, czym jest test t, obejrzyj poniższy film.