Dwuczynnikowa ANOVA

Czym jest dwuczynnikowa ANOVA?

Dwuczynnikowa analiza wariancji sprawdza, czy średnia zmiennej zależnej różni się w zależności od poziomów dwóch czynników oraz czy między czynnikami występuje interakcja.

Czym jest czynnik?

Czynnikiem może być na przykład płeć osoby z kategoriami mężczyzna i kobieta, forma terapii stosowanej w chorobie z terapią A, B i C albo kierunek studiów, na przykład medycyna, zarządzanie, psychologia i matematyka.

W analizie wariancji czynnik jest zmienną kategorialną. Analizy wariancji używasz wtedy, gdy chcesz sprawdzić, czy średnia zmiennej zależnej różni się między kategoriami.

Na przykład możesz sprawdzić, czy płeć ma wpływ na wynagrodzenie, czy terapia ma wpływ na ciśnienie krwi albo czy kierunek studiów ma wpływ na czas trwania studiów. Wynagrodzenie, ciśnienie krwi lub czas trwania studiów są wtedy zmiennymi zależnymi. We wszystkich tych przypadkach możesz sprawdzić, czy czynnik ma wpływ na zmienną zależną.

Ponieważ w tych przypadkach masz tylko jeden czynnik, zastosujesz jednoczynnikową analizę wariancji. Gdy czynnik ma tylko dwie kategorie, możesz też zastosować test t dla prób niezależnych; wynik testu istotności będzie równoważny.

ANOVA z dwoma czynnikami (dwuczynnikowa)

Możesz jednak mieć jeszcze jedną zmienną kategorialną, którą również chcesz uwzględnić. Może Cię interesować, czy:

• oprócz płci najwyższy poziom wykształcenia również ma wpływ na wynagrodzenie.
• oprócz terapii płeć również ma wpływ na ciśnienie krwi.
• oprócz kierunku studiów uczelnia, na której studiowano, również ma wpływ na czas trwania studiów.

We wszystkich trzech przypadkach masz po dwa czynniki. Możesz więc zastosować dwuczynnikową analizę wariancji.

Za pomocą dwuczynnikowej analizy wariancji możesz odpowiedzieć na trzy pytania:

• Czy czynnik 1 wpływa na zmienną zależną?
• Czy czynnik 2 wpływa na zmienną zależną?
• Czy istnieje interakcja między czynnikiem 1 a czynnikiem 2?

W przypadku jednoczynnikowej analizy wariancji mamy więc jeden czynnik, na podstawie którego tworzymy grupy. W przypadku dwuczynnikowej analizy wariancji grupy wynikają z kombinacji kategorii dwóch czynników.

Przykład dwuczynnikowej ANOVA

Oto przykładowy zbiór danych do dwuczynnikowej ANOVA w medycynie. Załóżmy, że interesuje nas zbadanie wpływu dwóch czynników, „Leczenie” i „Płeć”, na zmienną zależną „Ciśnienie krwi”.

W tym przykładzie mamy dwie kategorie czynnika „Leczenie” (A i B) oraz dwa poziomy czynnika „Płeć” (mężczyzna i kobieta). Pomiary „Ciśnienia krwi” są rejestrowane dla każdego uczestnika w zależności od leczenia i płci.

Aby przeprowadzić dwuczynnikową ANOVA dla tego zbioru danych, testowalibyśmy hipotezę zerową mówiącą, że nie ma interakcji między czynnikami „Leczenie” i „Płeć” oraz nie ma efektów głównych każdego z czynników na zmienną zależną „Ciśnienie krwi”.

Hipotezy

Za pomocą dwuczynnikowej ANOVA można testować trzy stwierdzenia, dlatego istnieją 3 hipotezy zerowe i odpowiednio 3 hipotezy alternatywne.

Założenia

Aby można było obliczyć dwuczynnikową analizę wariancji bez powtarzanych pomiarów, muszą być spełnione następujące założenia:

• Poziom pomiaru zmiennej zależnej powinien być metryczny, a zmiennych niezależnych (czynników) nominalny.
• Niezależność: pomiary powinny być niezależne, tzn. wartość pomiaru w jednej grupie nie powinna być zależna od wartości pomiaru w innej grupie (niezależne obserwacje). Gdyby tak było, potrzebna byłaby analiza wariancji z powtarzanymi pomiarami.
• Jednorodność: wariancje w każdej grupie powinny być w przybliżeniu równe. Można to sprawdzić za pomocą testu Levene'a.
• Rozkład normalny: reszty modelu powinny mieć w przybliżeniu rozkład normalny.

Zmienną zależną może więc być na przykład wynagrodzenie, ciśnienie krwi lub czas trwania studiów. Wszystkie są zmiennymi metrycznymi. Zmienna niezależna powinna być natomiast mierzona na skali nominalnej lub porządkowej, na przykład płeć, najwyższy poziom wykształcenia albo rodzaj terapii. Pamiętaj jednak, że w przypadku zmiennych porządkowych kolejność rang nie jest wykorzystywana, więc ta informacja zostaje utracona.

Obliczanie dwuczynnikowej ANOVA

Do obliczenia dwuczynnikowej ANOVA potrzebne są następujące wzory. Przyjrzyjmy się temu na przykładzie.

Załóżmy, że pracujesz w dziale marketingu banku i chcesz sprawdzić, czy płeć oraz to, czy dana osoba studiowała, wpływają na jej nastawienie do planowania emerytury.

W tym przykładzie dwiema zmiennymi niezależnymi (czynnikami) są płeć (mężczyzna lub kobieta) oraz studiowanie (tak lub nie). Zmienną zależną jest nastawienie do planowania emerytury, gdzie 1 oznacza „nieważne”, a 10 oznacza „bardzo ważne”.

Czy nastawienie do planowania emerytury naprawdę jest zmienną metryczną? W tym uproszczonym przykładzie zakładamy, że wynik uzyskany za pomocą skali Likerta można traktować jak zmienną metryczną. W praktyce takie założenie trzeba uzasadnić.

Wartości średnie

W pierwszym kroku obliczamy średnie wartości poszczególnych grup, tzn. dla mężczyzn, którzy nie studiowali, co daje 5,8, następnie dla mężczyzn, którzy studiowali, co daje 5,4. To samo robimy teraz dla kobiet.

Następnie obliczamy odpowiednio średnią dla wszystkich mężczyzn i kobiet oraz dla osób, które nie studiowały i które studiowały. Na końcu obliczamy średnią ogólną równą 5,4.

Sumy kwadratów

Na tej podstawie możemy teraz obliczyć wymagane sumy kwadratów. SS_tot to suma kwadratów różnic między każdą pojedynczą wartością a średnią ogólną.

SS_btw wynika z sumy ważonych kwadratów różnic między średnimi grupowymi a średnią ogólną. Wagami są liczebności grup.

W zrównoważonym planie sumy kwadratów czynników SS_A i SS_B oblicza się na podstawie ważonych różnic między średnimi poziomów czynnika a średnią ogólną.

Teraz możemy obliczyć sumę kwadratów dla interakcji. Otrzymujemy ją, odejmując SS_A i SS_B od SS_btw.

Na końcu obliczamy sumę kwadratów błędu. Oblicza się ją podobnie jak całkowitą sumę kwadratów, więc ponownie używamy każdej pojedynczej wartości. Tylko w tym przypadku zamiast odejmować średnią ogólną od każdej wartości, odejmujemy odpowiednią średnią grupową.

Stopnie swobody

Wymagane stopnie swobody są następujące:

Średnie kwadraty lub wariancja

Na podstawie sum kwadratów i stopni swobody można teraz obliczyć wariancję:

Wartość F

Teraz możemy obliczyć wartości F. Otrzymujemy je, dzieląc wariancję czynnika A, czynnika B albo interakcji AB przez wariancję błędu.

Wartość p

Do obliczenia wartości p potrzebujemy wartości F, stopni swobody oraz rozkładu F. Korzystamy z kalkulatora wartości p dla rozkładu F numiqo. Oczywiście możesz też po prostu obliczyć cały przykład w numiqo; więcej o tym w następnej sekcji.

Otrzymujemy wartość p równą 0,323 dla czynnika A, wartość p równą 0,686 dla czynnika B oraz wartość p równą 0,55 dla interakcji. Żadna z tych wartości p nie jest mniejsza niż 0,05, dlatego nie odrzucamy odpowiednich hipotez zerowych.

Obliczanie dwuczynnikowej ANOVA w numiqo

Bierzemy ten sam przykład co powyżej. Dane są teraz ułożone w takiej formie, aby oprogramowanie statystyczne mogło z nimi pracować. W każdym wierszu znajduje się jedna osoba badana.

Ten przykład obejmuje tylko 20 przypadków, co oczywiście nie jest dużą liczbą i daje bardzo niską moc testu, ale jako przykład powinien wystarczyć.

Aby obliczyć dwuczynnikową analizę wariancji online, po prostu odwiedź numiqo.com i skopiuj własne dane do tej tabeli.

Następnie kliknij Testy hipotez. Na tej karcie znajdziesz wiele testów hipotez, a w zależności od wybranej zmiennej zostanie zaproponowany odpowiedni test hipotez.

Gdy skopiujesz dane do tabeli, zmienne pojawią się pod tabelą. Jeśli prawidłowy poziom pomiaru nie zostanie automatycznie wykryty, możesz go po prostu zmienić, klikając sam poziom pomiaru.

Chcemy wiedzieć, czy płeć oraz to, czy ktoś studiował, mają wpływ na nastawienie do planowania emerytury. Klikamy więc po prostu wszystkie trzy zmienne.

numiqo automatycznie obliczy teraz dwuczynnikową analizę wariancji bez powtarzanych pomiarów. numiqo wyświetla trzy hipotezy zerowe i trzy hipotezy alternatywne, następnie statystyki opisowe oraz test Levene'a jednorodności wariancji. Za pomocą testu Levene'a możesz sprawdzić, czy dane wskazują na różnice wariancji między grupami. Wartość p jest większa niż 0,05, więc nie ma podstaw do stwierdzenia takich różnic. Warto pamiętać, że test Levene'a ma mniejszą moc w małych próbach.

Następnie pojawiają się wyniki dwuczynnikowej ANOVA.

Interpretacja dwuczynnikowej ANOVA

Najważniejsze w tej tabeli są trzy zaznaczone wiersze. Za ich pomocą możesz sprawdzić, czy 3 hipotezy zerowe sformułowane wcześniej zostają utrzymane czy odrzucone.

Pierwszy wiersz testuje hipotezę zerową dotyczącą tego, czy studiowanie lub brak studiowania ma wpływ na nastawienie do planowania emerytury. Drugi wiersz testuje, czy płeć ma wpływ na nastawienie. Trzeci wiersz testuje interakcję między studiowaniem a płcią.

Wartość p możesz odczytać w każdym przypadku w ostatniej kolumnie. Załóżmy, że ustalamy poziom istotności na 5%. Jeśli obliczona wartość p jest mniejsza niż 0,05, hipoteza zerowa zostaje odrzucona; jeśli obliczona wartość p jest większa niż 0,05, hipoteza zerowa nie zostaje odrzucona.

W tym przypadku widzimy więc, że wszystkie trzy wartości p są większe niż 0,05, dlatego nie możemy odrzucić żadnej z trzech hipotez zerowych.

Nie ma więc podstaw do stwierdzenia, że średnie nastawienie do planowania emerytury różni się w zależności od studiowania lub płci. Nie stwierdzono też istotnej interakcji między studiowaniem a płcią.

Jeśli nie wiesz dokładnie, jak interpretować wyniki, możesz po prostu kliknąć Podsumowanie słowne. Ponadto ważne jest, aby wcześniej sprawdzić, czy założenia analizy wariancji są w ogóle spełnione.

Efekt interakcji

Co jednak dokładnie oznacza interakcja? Najpierw spójrzmy na ten wykres.

Na osi y przedstawiona jest zmienna zależna, w naszym przykładzie: nastawienie do planowania emerytury. Na osi x przedstawiony jest jeden z dwóch czynników; weźmy po prostu płeć. Drugi czynnik jest reprezentowany przez linie w różnych kolorach. Zielona oznacza osoby, które studiowały, a czerwona osoby, które nie studiowały.

Końce linii są wartościami średnimi grup, np. mężczyzn, którzy nie studiowali.

Na tym wykresie widać, że zarówno płeć, jak i zmienna informująca o tym, czy ktoś studiował, mają wpływ na nastawienie do planowania emerytury. Kobiety mają wyższą wartość niż mężczyźni, a osoby, które studiowały, mają wyższą wartość niż osoby, które nie studiowały.

Przejdźmy teraz do efektów interakcji; w tym celu porównamy te dwa wykresy.

W pierwszym przypadku powiedzieliśmy, że nie ma efektu interakcji. Jeśli dana osoba studiowała, ma wartość, powiedzmy, o 1,5 wyższą niż osoba, która nie studiowała.

Ten wzrost o 1,5 jest niezależny od tego, czy dana osoba jest mężczyzną czy kobietą.

Inaczej jest w tym przypadku: osoby, które studiowały, również mają wyższą wartość, ale to, o ile wyższa jest ta wartość, zależy od tego, czy dana osoba jest mężczyzną czy kobietą. Jeśli jestem mężczyzną, różnica wynosi, powiedzmy, 0,5, a jeśli jestem kobietą, różnica wynosi 3,5.

W tym przypadku wyraźnie mamy więc interakcję między płcią a studiowaniem, ponieważ te dwie zmienne wpływają na siebie nawzajem. Znaczenie ma to, jak silny jest wpływ studiowania w zależności od tego, czy jestem mężczyzną czy kobietą.

W tym przypadku mamy efekt interakcji, ale kierunek nadal pozostaje taki sam. Kobiety mają więc wyższe wyniki niż mężczyźni, a osoby, które studiowały, mają wyższe wyniki niż osoby, które nie studiowały.