Odchylenie standardowe

Czym jest odchylenie standardowe?

Odchylenie standardowe to miara rozproszenia wartości wokół średniej. Jest pierwiastkiem ze średniej kwadratów odchyleń od średniej, dzięki czemu opisuje rozrzut danych w tej samej jednostce co analizowana zmienna.

Niskie odchylenie standardowe oznacza, że wartości są blisko średniej, natomiast wysokie odchylenie standardowe wskazuje, że wartości są bardziej rozproszone.

Obliczanie odchylenia standardowego

Aby obliczyć odchylenie standardowe, najpierw musimy obliczyć średnią. Otrzymujemy ją, po prostu dodając wzrost wszystkich osób i dzieląc wynik przez liczbę osób. Załóżmy, że otrzymujemy średnią równą 155 cm. Teraz chcemy wiedzieć, o ile każda osoba odbiega od średniej.

Patrzymy więc na pierwszą osobę, która odbiega od średniej o 18 cm, druga osoba odbiega od średniej o 8 cm, trzecia o 15 cm, czwarta o 8 cm, piąta o 9 cm, a ostatnia osoba odbiega od średniej o 6 cm. Mówiąc prosto: osoby bardzo wysokie lub bardzo niskie odbiegają od średniej bardziej.

Nie interesują nas jednak wyłącznie odchylenia poszczególnych osób. Chcemy jedną liczbą opisać ich typową wielkość. Do tego służy odchylenie standardowe.

W naszym przykładzie odchylenie średniokwadratowe od średniej wynosi 11,5 cm (wzór dla populacji). Aby obliczyć odchylenie standardowe, możemy użyć tego wzoru, gdy chcemy znać odchylenie standardowe całej populacji:

Odchylenie standardowe opiera się więc na sumie kwadratów odchyleń (od średniej) podzielonej przez liczbę wartości (populacja) albo przez n-1 (próba).

W naszym przykładzie oznacza to, że obliczamy wzrost pierwszej osoby minus średnia i podnosimy wynik do kwadratu, następnie wzrost drugiej osoby minus średnia i podnosimy wynik do kwadratu, i tak dalej aż do ostatniej osoby.

Następnie dzielimy sumę przez liczbę osób, czyli 6, i wyciągamy pierwiastek kwadratowy. Wynikiem jest odchylenie standardowe równe 11,5 cm. Dokładniej mówiąc, w tym przypadku jest to odchylenie standardowe populacji, ponieważ zakładamy, że 6 osób stanowi całą populację. Poniżej omawiamy dwa różne wzory na odchylenie standardowe.

Teraz możesz zauważyć jedną rzecz: cały czas mowa o „przeciętnym odchyleniu” od średniej. Ale w przypadku przeciętnego odchylenia po prostu dodalibyśmy wszystkie odchylenia i podzielili przez liczbę uczestników, tak jak przy obliczaniu średniej, prawda?

Nie. Suma zwykłych odchyleń od średniej wynosi zero, ponieważ odchylenia dodatnie i ujemne się znoszą. W przypadku odchylenia standardowego używamy średniej kwadratowej: podnosimy odchylenia do kwadratu, uśredniamy je, a następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy.

Dwa różne wzory

Jak dotąd wszystko jasne. Trzeba jednak uwzględnić jeszcze jedną rzecz! Istnieją dwa nieco różne wzory na odchylenie standardowe.

Różnica polega na tym, że w jednym przypadku dzielimy przez n, a w drugim przez n-1. Dlaczego jednak istnieją dwa różne wzory?

Zwykle chcemy znać odchylenie standardowe całej populacji. Na przykład chcemy znać odchylenie standardowe wzrostu wszystkich niemieckich zawodowych piłkarzy.

Gdybyśmy mieli wzrost wszystkich niemieckich zawodowych piłkarzy, użylibyśmy wzoru z 1 podzielonym przez n.

Zwykle jednak nie da się zbadać całej populacji, dlatego pobieramy próbę. Następnie używamy tej próby do oszacowania odchylenia standardowego populacji. W takim przypadku stosujemy wzór z n-1.

Mówiąc prosto: jeśli na podstawie próby chcemy oszacować zróżnicowanie w populacji, zwykle używamy wzoru z n-1. Dotyczy to na przykład badania klinicznego, w którym na podstawie próby wnioskujemy o populacji.

Odchylenie standardowe a wariancja

Jaka jest jednak różnica między odchyleniem standardowym a wariancją? Jak wiemy, odchylenie standardowe jest pierwiastkiem ze średniej kwadratów odchyleń od średniej. Wariancja to odchylenie standardowe podniesione do kwadratu.

Mamy więc prawie ten sam wzór! Jedyna różnica polega na tym, że przy odchyleniu standardowym wyciągamy pierwiastek kwadratowy. Przy wariancji tego nie robimy.

Ponieważ wyciągamy pierwiastek kwadratowy, odchylenie standardowe jest zawsze wyrażone w tej samej jednostce co dane pierwotne. W naszym przypadku są to cm! Dlatego do opisu danych warto używać odchylenia standardowego, ponieważ ułatwia ono interpretację.

Wariancję trudniej interpretować, ponieważ jej jednostką jest kwadrat jednostki pierwotnej. W naszym przypadku cm².