Współczynnik korelacji rang Spearmana

Czym jest korelacja rang Spearmana?

Korelacja rang Spearmana bada związek między dwiema zmiennymi i jest nieparametrycznym odpowiednikiem korelacji Pearsona. Dlatego normalny rozkład danych nie jest wymagany.

Między tymi dwoma współczynnikami korelacji istnieje ważna różnica. Korelacja Spearmana wykorzystuje rangi zamiast wartości pierwotnych, stąd nazwa korelacja rang.

Przykład korelacji Spearmana

Zmierzyliśmy czas reakcji 8 graczy komputerowych i zapytaliśmy ich o wiek.

Jeśli użyjemy korelacji Pearsona, po prostu bierzemy dwie zmienne, czas reakcji i wiek, a następnie obliczamy współczynnik korelacji Pearsona. Teraz jednak chcemy obliczyć korelację rang Spearmana, dlatego najpierw przypisujemy każdej osobie rangę dla czasu reakcji i wieku.

Czas reakcji jest już posortowany według wartości. 12 to najmniejsza wartość, więc otrzymuje rangę 1, 15 jest drugą najmniejszą wartością, więc otrzymuje rangę 2 i tak dalej. To samo robimy dla wieku.

Przyjrzyjmy się temu na wykresie rozrzutu. Po lewej stronie widzimy surowe dane dla wieku i czasu reakcji, a po prawej stronie rangi.

Zbadaliśmy 8 osób, a ponieważ nie ma rang wiązanych, mamy do przypisania 8 rang.

Aby obliczyć korelację Spearmana, po prostu obliczamy korelację Pearsona dla rang. Korelacja Spearmana jest więc taka sama jak korelacja Pearsona, z tą różnicą, że zamiast wartości pierwotnych używa się rang.

Zobaczmy to w numiqo. Kliknij, aby wczytać przykładowe dane.

Z jednej strony mamy czas reakcji i wiek; z drugiej strony mamy nowo utworzone rangi dla czasu reakcji i wieku.

Teraz możemy albo obliczyć korelację rang Spearmana na podstawie czasu reakcji i wieku, albo możemy obliczyć korelację Pearsona na podstawie rang. W obu przypadkach otrzymujemy korelację 0,9.

Obliczanie korelacji Spearmana

Jeśli nie ma rang wiązanych, do obliczenia korelacji Spearmana można również użyć tego równania.

gdzie n to liczba przypadków, a d to różnica między rangami dwóch zmiennych. Dla naszego przykładu wynik jest następujący:

Suma d_i² wynosi 8, a n, czyli liczba osób, również wynosi 8. Po podstawieniu tych wartości otrzymujemy współczynnik korelacji równy 0,9.

Siła i kierunek współczynnika Spearmana

Podobnie jak współczynnik korelacji Pearsona r, współczynnik korelacji Spearmana r_s również przyjmuje wartości od -1 do 1.

Za pomocą współczynnika możemy określić dwie rzeczy:

• siłę korelacji oraz
• kierunek korelacji.

Siłę korelacji można odczytać z tabeli.

Jeśli współczynnik znajduje się między -1 a 0, występuje korelacja ujemna, czyli ujemny związek między zmiennymi. Jeśli współczynnik znajduje się między 0 a 1, występuje korelacja dodatnia, czyli dodatni związek między dwiema zmiennymi. Jeśli wynik wynosi 0, nie występuje zależność monotoniczna.

Testowanie istotności współczynników korelacji

Często naszym celem jest testowanie hipotezy dotyczącej populacji na podstawie próby.

Obliczyliśmy współczynnik korelacji dla danych z próby. Możemy teraz sprawdzić, czy współczynnik korelacji różni się istotnie od 0.

Hipoteza zerowa i hipoteza alternatywna są następujące:

• Hipoteza zerowa: współczynnik korelacji r_s = 0 (brak korelacji).
• Hipoteza alternatywna: współczynnik korelacji r_s ≠ 0 (występuje korelacja).

Dla większych prób istotność współczynnika można w przybliżeniu sprawdzić za pomocą testu t. Przy małych próbach lub licznych rangach wiązanych warto stosować dokładniejsze metody dostępne w oprogramowaniu statystycznym.

Tutaj r_s to współczynnik korelacji, a n to wielkość próby. Następnie z statystyki testowej t można obliczyć wartość p. Jeśli wartość p jest mniejsza niż określony poziom istotności (zwykle 5%), hipoteza zerowa zostaje odrzucona; w przeciwnym razie nie zostaje odrzucona.

Obliczanie w numiqo

Jeśli użyjemy numiqo do obliczenia przykładu, otrzymamy wartość p równą 0,002.

Dlatego wartość p jest mniejsza niż 0,05 i możemy odrzucić hipotezę zerową, że współczynnik korelacji w populacji jest równy zero.