Korelacja Pearsona

Czym jest korelacja Pearsona?

Analiza korelacji Pearsona bada związek między dwiema zmiennymi. Na przykład: czy istnieje korelacja między wiekiem osoby a jej wynagrodzeniem?

Dokładniej rzecz ujmując, współczynnik korelacji Pearsona pozwala mierzyć zależność liniową między dwiema zmiennymi.

Siła i kierunek korelacji

Za pomocą analizy korelacji możemy określić:

• jak silna jest korelacja,
• oraz jaki jest jej kierunek.

Siłę i kierunek korelacji możemy odczytać ze współczynnika korelacji Pearsona r, którego wartość mieści się w zakresie od -1 do 1.

Siła korelacji

Siłę korelacji można odczytać z tabeli. Wartość r między 0 a 0,1 oznacza brak korelacji. Wartość bezwzględna r między 0,7 a 1 oznacza bardzo silną korelację.

Kierunek korelacji

Dodatnia zależność lub korelacja występuje wtedy, gdy wysokie wartości jednej zmiennej wiążą się z wysokimi wartościami drugiej zmiennej albo gdy niskie wartości jednej zmiennej wiążą się z niskimi wartościami drugiej zmiennej.

Dodatnia korelacja występuje na przykład między wzrostem a rozmiarem buta. Daje to dodatni współczynnik korelacji.

Ujemna korelacja występuje wtedy, gdy wysokie wartości jednej zmiennej wiążą się z niskimi wartościami drugiej zmiennej i odwrotnie.

Ujemną korelację zwykle obserwuje się między ceną produktu a wielkością sprzedaży. Powstaje wtedy ujemny współczynnik korelacji.

Obliczanie współczynnika korelacji Pearsona

Współczynnik korelacji Pearsona oblicza się za pomocą poniższego wzoru. Tutaj r to współczynnik korelacji Pearsona, x_i to poszczególne wartości jednej zmiennej, np. wieku; y_i to poszczególne wartości drugiej zmiennej, np. wynagrodzenia; a x̄ i ȳ to odpowiednio średnie wartości obu zmiennych.

We wzorze widać, że od obu zmiennych najpierw odejmuje się odpowiadającą im wartość średnią.

W naszym przykładzie obliczamy więc średnie wartości wieku i wynagrodzenia. Następnie odejmujemy te średnie od poszczególnych wartości wieku i wynagrodzenia, a potem mnożymy oba wyniki.

Następnie sumujemy poszczególne wyniki mnożenia. Wyrażenie w mianowniku sprawia, że współczynnik korelacji jest skalowany do zakresu od -1 do 1.

Jeśli pomnożymy dwie wartości dodatnie, otrzymamy wartość dodatnią. Jeśli pomnożymy dwie wartości ujemne, również otrzymamy wartość dodatnią (minus razy minus daje plus). Wszystkie wartości znajdujące się w tych obszarach mają więc dodatni wpływ na współczynnik korelacji.

Jeśli pomnożymy wartość dodatnią i wartość ujemną, otrzymamy wartość ujemną (minus razy plus daje minus). Wszystkie wartości znajdujące się w tych obszarach mają więc ujemny wpływ na współczynnik korelacji.

Jeśli więc nasze wartości znajdują się głównie w dwóch zielonych obszarach (ćwiartkach) na dwóch poprzednich rysunkach, otrzymujemy dodatni współczynnik korelacji, a zatem dodatnią korelację.

Jeśli nasze wartości znajdują się głównie w dwóch czerwonych obszarach (ćwiartkach) na rysunkach, otrzymujemy ujemny współczynnik korelacji, a tym samym ujemną korelację.

Jeśli punkty są rozłożone we wszystkich czterech obszarach (ćwiartkach), składniki dodatnie i ujemne znoszą się wzajemnie, przez co możemy otrzymać bardzo słabą korelację albo jej brak.

Testowanie istotności współczynników korelacji

Zazwyczaj współczynnik korelacji oblicza się na podstawie danych z próby. W większości przypadków chcemy jednak testować hipotezę dotyczącą populacji.

W przypadku analizy korelacji chcemy więc wiedzieć, czy w populacji istnieje korelacja.

W tym celu sprawdzamy, czy współczynnik korelacji w próbie różni się statystycznie istotnie od zera.

Hipotezy dla współczynnika korelacji Pearsona

Hipoteza zerowa i hipoteza alternatywna dla współczynnika korelacji Pearsona brzmią zatem:

• Hipoteza zerowa: Współczynnik korelacji liniowej w populacji jest równy zero (brak zależności liniowej).
• Hipoteza alternatywna: Współczynnik korelacji liniowej w populacji jest różny od zera (występuje zależność liniowa).

Uwaga: Zawsze testuje się, czy hipoteza zerowa zostaje odrzucona, czy nie.

W naszym przykładzie z wynagrodzeniem i wiekiem osoby moglibyśmy więc zadać pytanie: Czy w populacji niemieckiej (populacji generalnej) istnieje korelacja między wiekiem a wynagrodzeniem?

Aby to sprawdzić, pobieramy próbę i testujemy, czy współczynnik korelacji w tej próbie różni się istotnie od zera.

• Hipoteza zerowa brzmi wtedy: W populacji niemieckiej nie ma korelacji między wynagrodzeniem a wiekiem.
• a hipoteza alternatywna: W populacji niemieckiej istnieje korelacja między wynagrodzeniem a wiekiem.

Istotność i test t

To, czy współczynnik korelacji Pearsona wyznaczony na podstawie badanej próby różni się istotnie od zera, można sprawdzić za pomocą testu t. Tutaj r oznacza współczynnik korelacji, a n liczebność próby.

Następnie ze statystyki testowej t można obliczyć wartość p. Jeśli wartość p jest mniejsza niż przyjęty poziom istotności, który zwykle wynosi 5%, hipoteza zerowa zostaje odrzucona; w przeciwnym razie nie zostaje odrzucona.

Założenia współczynnika korelacji Pearsona

A co z założeniami korelacji Pearsona? Trzeba tu rozróżnić, czy chcemy jedynie obliczyć współczynnik korelacji Pearsona, czy też chcemy testować hipotezę.

Do obliczenia współczynnika korelacji Pearsona wystarczy, aby dostępne były dwie zmienne metryczne. Zmiennymi metrycznymi są na przykład masa ciała osoby, jej wynagrodzenie albo zużycie energii elektrycznej.

Współczynnik korelacji Pearsona informuje wtedy, jak silna jest zależność liniowa. Jeśli występuje korelacja nieliniowa, nie można jej odczytać ze współczynnika korelacji Pearsona.

Jeśli jednak chcemy sprawdzić, czy współczynnik korelacji Pearsona w populacji różni się od zera, potrzebne są dodatkowe założenia. Klasyczny test istotności zakłada między innymi niezależność obserwacji oraz dwuwymiarowy rozkład normalny zmiennych.

Jeśli założenia są wyraźnie naruszone, wynik klasycznego testu może być niewiarygodny. W niektórych sytuacjach można zastosować korelację rang Spearmana.

Oblicz korelację Pearsona online w numiqo

Analizę korelacji można również obliczyć online w numiqo. W tym celu wystarczy skopiować dane do tej tabeli w kalkulatorze statystycznym i kliknąć kartę Testy hipotez albo Korelacja.

Jeśli wybierzesz teraz dwie zmienne metryczne, współczynnik korelacji Pearsona zostanie obliczony automatycznie. Jeśli nie wiesz dokładnie, jak interpretować wyniki, możesz także kliknąć Podsumowanie słowne.