Test t dla prób zależnych

Czym jest test t dla prób zależnych?

Test t dla prób zależnych (nazywany także testem t dla danych zależnych) sprawdza, czy dwa pomiary wykonane u tych samych osób lub obiektów różnią się przeciętnie.

Kiedy go stosować?

Wtedy, gdy wartości tworzą powiązane pary, np.:

• Przed i po: zmierz wagę grupy przed dietą, a następnie ponownie po diecie.
• Dwa warunki: sprawdź, jak szybko ta sama grupa osób reaguje na bodziec po wypiciu kawy i bez kawy.
• Pary powiązane: porównaj opinie mężów i żon (powiązanych w pary).

Główne pytanie w tym teście brzmi: czy średnia zmiana obserwowana w naszej próbie jest na tyle wyraźna, aby wskazywać na rzeczywistą tendencję w "realnym świecie" (populacji), czy jest jedynie wynikiem losowej zmienności?

W przeciwieństwie do testu t dla prób niezależnych, w którym porównujesz dwie całkowicie różne grupy (np. mężczyzn i kobiety), test t dla prób zależnych koncentruje się na zmianach u tych samych osób.

Po co potrzebny jest test t dla danych zależnych?

Test t dla prób zależnych stosujesz wtedy, gdy pomiary tworzą pary, na przykład gdy mierzysz te same osoby dwukrotnie w badaniu typu "przed i po".

Możesz na przykład chcieć sprawdzić, czy nowy lek obniża ciśnienie krwi. Ponieważ nie możesz zmierzyć wszystkich osób przyjmujących lek, wybierasz próbę losową. Następnie możesz użyć testu t dla prób zależnych, aby wnioskować, czy lek ma efekt w szerszej populacji.

Czym są próby zależne lub sparowane?

W próbach zależnych takie wartości pomiarowe występują w parach. Pary powstają w wyniku pomiarów powtarzanych, dopasowania. Może tak być na przykład w badaniach podłużnych z kilkoma punktami pomiarowymi albo w badaniach interwencyjnych z planem eksperymentalnym (pomiar przed i po).

Przykładem doboru zależnego jest pomiar wagi grupy osób w dwóch punktach czasu. Do każdej osoby można wtedy jednoznacznie przypisać wagę z pierwszego i drugiego pomiaru oraz obliczyć różnicę wartości pomiarowych. Jeśli dostępne są więcej niż dwa punkty pomiarowe, stosuje się ANOVA z powtarzanymi pomiarami.

Jaka jest przewaga testu t dla danych zależnych nad testem t dla danych niezależnych?

To, czy należy zastosować test t dla danych zależnych, czy test t dla danych niezależnych, wynika oczywiście z planu badania i nie można dowolnie wybrać jednego lub drugiego testu. Pytanie dotyczy więc raczej tego, jaki typ badania ma większy sens:

• Przeprowadzenie badania z jedną grupą uczestników mierzonych dwukrotnie.
• Przeprowadzenie badania z dwiema oddzielnymi grupami uczestników, z których każda jest mierzona raz.

Główną zaletą schematu z powtarzanymi pomiarami, w którym stosuje się test t dla prób zależnych, jest możliwość wyeliminowania różnic indywidualnych między uczestnikami. Oznacza to, że przy pozostałych warunkach takich samych prawdopodobieństwo wykrycia istniejącej różnicy może być wyższe niż w teście t dla prób niezależnych.

Przykład testu t dla prób zależnych

Test t dla prób zależnych ma liczne zastosowania; poniżej znajdują się trzy przykłady.

Pytanie badawcze i hipotezy

Aby móc obliczyć test t dla prób zależnych, najpierw trzeba zdefiniować pytanie i hipotezy.

Pytanie badawcze

W teście t dla prób zależnych ogólne pytanie brzmi: czy średnia różnica między sparowanymi pomiarami jest różna od zera?

Pytania dla powyższych przykładów są następujące:

• Czy nowy lek pomaga zwiększyć sprawność pamięci?
• Czy nowo wprowadzony środek smarny wpływa na przestoje?
• Czy świadomość zdrowotna ludności Niemiec zmieniła się między 2010 a 2015 rokiem?

Hipotezy

Teraz z pytania można wyprowadzić hipotezę. W hipotezie formułuje się wstępne, czyli jeszcze niepotwierdzone założenie, które ma zostać sprawdzone. W przypadku testu t dla prób zależnych hipotezy są następujące:

• Hipoteza zerowa H₀: średnie wartości dwóch grup zależnych są równe.
• Hipoteza alternatywna H₁: średnie wartości dwóch grup zależnych są różne.

Założenia testu t dla prób zależnych

Oczywiście przed obliczeniem testu t dla prób zależnych należy sprawdzić założenia. Jeśli założenie normalności różnic nie jest spełnione, można rozważyć testu Wilcoxona. Test Wilcoxona jest nieparametrycznym odpowiednikiem testu t dla prób zależnych.

Jak działa test t dla prób zależnych?

W teście t dla prób zależnych oblicza się różnicę dla każdej sparowanej obserwacji. Następnie z tych różnic oblicza się średnią wartość. W zależności od tego, jak duża jest średnia i jak duży jest błąd standardowy średniej, można ocenić, na ile dane są zgodne z hipotezą, że średnia różnica w populacji wynosi zero.

Uwaga

Test t dla prób zależnych jest bardzo podobny do testu t dla jednej próby. Możemy też myśleć o teście t dla prób zależnych tak, jakbyśmy mieli jedną próbę mierzoną w dwóch różnych momentach. Jak pokazano na poniższym rysunku, obliczamy wtedy różnicę między wartościami sparowanymi i otrzymujemy jedną wartość dla jednej próby.

Raz otrzymujemy -5, raz +2, raz -1 itd. Teraz chcemy sprawdzić, czy średnia z właśnie obliczonych różnic odbiega od wartości referencyjnej. W tym przypadku od zera. I dokładnie to robi test t dla jednej próby.

Obliczanie testu t dla prób zależnych

Przy obliczaniu testu t dla prób zależnych najpierw wyznacza się różnicę dla każdej pary z dwóch grup. Ze wszystkich uzyskanych różnic oblicza się następnie średnią x̄_diff.

Obliczenie statystyki testowej t jest teraz takie samo jak w teście t dla jednej próby. Jeśli nie ma różnicy między dwiema grupami, średnia wartość różnic x̄_diff wynosi zero. Pytanie brzmi więc, czy istnieje różnica między x̄_diff a zerem. Statystykę testową t dla testu t dla prób zależnych oblicza się jako

gdzie to błąd standardowy średniej

• = Różnica między grupami
• = Średnia wartość różnicy między dwiema grupami
• = Liczebność próby
• = Odchylenie standardowe
• = Oszacowany błąd standardowy średniej

Wielkość efektu w teście t dla prób zależnych

Podawanie wielkości efektu jest bardzo ważne w badaniach empirycznych. Aby wypowiedzieć się o wielkości efektu w teście t dla prób zależnych, można użyć następującego wzoru

Ogólnie o wielkości efektu można powiedzieć:

• Wielkość efektu d: 0.2 mały efekt
• Wielkość efektu d: 0.5 średni efekt
• Wielkość efektu d: 0.8 duży efekt

Obliczanie z numiqo

W przykładzie testu t dla prób zależnych sprawdzamy, czy wakacje letnie mają wpływ na sprawność fizyczną studentów statystyki.

Pytanie brzmi więc: czy wakacje letnie wpływają na sprawność fizyczną studentów statystyki? W tym celu u 10 studentów statystyki wykonuje się test sprawnościowy raz przed wakacjami i raz po wakacjach (2 punkty pomiarowe).

Ponieważ dwa wyniki testu zawsze pochodzą od jednego studenta, między dwiema próbami istnieje zależność. Dlatego stosuje się test t dla prób zależnych.

Po skopiowaniu powyższej tabeli do kalkulatora testu t dla danych zależnych można obliczyć test t. Wyniki są następujące:

Statystyki

Korelacja

Test t dla prób zależnych

95% przedział ufności dla różnicy

Interpretacja testu t dla prób zależnych

Jeśli obliczona wartość p jest mniejsza niż określony poziom istotności (zwykle 5%), hipotezę zerową odrzuca się; w przeciwnym razie nie odrzuca się jej. Dla powyższego przykładu wyniki można opisać następująco:

Wynik zmiennej przed wakacjami był niższy (M = 46.4, SD = 11.452) niż wynik zmiennej po wakacjach (M = 49.7, SD = 14.095). Test t dla prób zależnych wykazał, że ta różnica nie była statystycznie istotna, t(9) = -1.392, p = .197, 95% przedział ufności [-8.664, 2.064].

Otrzymano wartość p równą 0.197, która jest większa od ustalonego poziomu istotności 0.05. Wynik testu t nie jest zatem istotny statystycznie, a hipoteza zerowa nie zostaje odrzucona.