Jednoczynnikowa ANOVA
(analiza wariancji)

Czym jest jednoczynnikowa ANOVA?

Jednoczynnikowa ANOVA (jednoczynnikowa analiza wariancji) sprawdza, czy średnie w co najmniej trzech grupach różnią się od siebie. Jest więc rozszerzeniem testu t dla prób niezależnych na więcej niż dwie grupy.

Przykład jednoczynnikowej ANOVA

Klasycznym zastosowaniem analizy wariancji są badania nad terapiami. Na przykład można sprawdzić, czy różne terapie prowadzą do różnych efektów leczenia po przepuklinie dysku. W tym celu można przetestować trzy różne terapie.

W jednej grupie można jedynie omówić z pacjentami, które ruchy są korzystne, a które niekorzystne dla dysku, drugą grupę można leczyć farmakologicznie, a w trzeciej zastosować rozciąganie i trening siłowy.

Na końcu terapii można zmierzyć jej skuteczność i za pomocą analizy wariancji obliczyć, czy między trzema rodzajami terapii występuje istotna różnica. Oczywiście, aby obliczyć ANOVA, muszą być spełnione odpowiednie założenia; więcej na ten temat poniżej.

Hipotezy w jednoczynnikowej analizie wariancji

Chcemy sprawdzić, czy średnia zmiennej zależnej różni się między grupami.

Pytanie, na które można odpowiedzieć za pomocą jednoczynnikowej analizy wariancji, brzmi: czy w populacji istnieje różnica między różnymi grupami zmiennej niezależnej pod względem zmiennej zależnej.

W powyższym przykładzie grupami zmiennej niezależnej są różne rodzaje terapii, a zmienną zależną jest odczuwanie bólu po danej terapii.

Dlaczego chcemy testować, czy w populacji występuje różnica? W istocie chcemy sformułować wniosek dotyczący populacji, ale niestety w większości przypadków nie da się zbadać całej populacji i można pobrać jedynie próbę losową.

Celem jest sformułowanie wniosku o populacji na podstawie tej próby za pomocą analizy wariancji.

Oczywiście eksperymentu dotyczącego skuteczności terapii nie przeprowadzono na wszystkich osobach z przepukliną dysku, lecz tylko na próbie losowej, mimo to chcemy uogólnić wniosek na populację.

Hipoteza zerowa i hipoteza alternatywna mają zatem postać:

Hipoteza zerowa mówi więc, że wszystkie średnie w populacji są równe. Hipoteza alternatywna mówi, że co najmniej jedna średnia różni się od pozostałych.

Założenia jednoczynnikowej analizy wariancji

Aby można było obliczyć jednoczynnikową ANOVA, muszą być spełnione następujące warunki:

Co zrobić, jeśli założenia nie są spełnione? Jeśli zmienna zależna jest co najmniej porządkowa albo rozkład danych wyraźnie odbiega od normalnego, można rozważyć test Kruskala-Wallisa. Jeśli dane są próbą zależną, należy zastosować analizę wariancji z powtarzanymi pomiarami.

Obliczanie jednoczynnikowej analizy wariancji

Aby obliczyć analizę wariancji, najpierw należy obliczyć średnie poszczególnych grup oraz średnią ogólną. Następnie można obliczyć różne sumy kwadratów (SS).

Następnie z sum kwadratów można obliczyć średnie kwadraty, a na końcu wartość F. Wartość p można potem obliczyć na podstawie wartości F i stopni swobody, korzystając z rozkładu F.

Zwykle jednak wartość p oblicza się po prostu za pomocą oprogramowania statystycznego, takiego jak numiqo; zobacz poniżej.

Wielkość efektu w jednoczynnikowej ANOVA

W jednoczynnikowej analizie wariancji wielkość efektu można obliczać na różne sposoby. Najczęściej stosuje się eta kwadrat, cząstkowe eta kwadrat oraz wielkość efektu Cohena.

Eta kwadrat i cząstkowe eta kwadrat

Eta kwadrat η² wskazuje, jaka część całkowitej wariancji zmiennej zależnej może zostać wyjaśniona przez zmienną niezależną.

W przypadku jednoczynnikowej analizy wariancji bez powtarzanych pomiarów eta kwadrat odpowiada cząstkowemu eta kwadrat.

Wielkość efektu f według Cohena

Po obliczeniu cząstkowego eta kwadrat wielkość efektu f według Cohena jest dana wzorem:

Jako orientację można tu wykorzystać klasyfikację Cohena (1988):

Obliczanie jednoczynnikowej ANOVA w numiqo

Obliczanie jednoczynnikowej ANOVA w numiqo

Jeśli chcesz obliczyć jednoczynnikową analizę wariancji w numiqo, kliknij Kalkulator statystyczny, a następnie kartę Testy hipotez.

Jeśli teraz wybierzesz zmienną metryczną oraz zmienną nominalną z więcej niż 2 wartościami, analiza wariancji zostanie obliczona automatycznie.

Najpierw otrzymasz hipotezy oraz statystyki opisowe. Następnie możesz graficznie odczytać rozproszenie poszczególnych grup na wykresie pudełkowym.

Na końcu otrzymasz test Levene'a równości wariancji. Test Levene'a daje wartość p równą 0,184, która jest większa niż poziom istotności 0,05. Zatem hipoteza zerowa nie zostaje odrzucona. Nie ma więc podstaw, aby uznać wariancje grup za różne.

W tabeli „ANOVA” można odczytać obliczoną wartość p analizy wariancji. Jeśli jest ona większa niż poziom istotności, który zwykle przyjmuje się jako 0,05, hipoteza zerowa nie zostaje odrzucona. Nie ma wtedy podstaw do stwierdzenia różnic między grupami. W tym przykładzie wartość p wynosi 0,072, czyli jest powyżej poziomu istotności 0,05, dlatego hipoteza zerowa nie zostaje odrzucona. Nie ma podstaw do stwierdzenia różnic w czasie reakcji między trzema grupami.

Jeśli nie wiesz dokładnie, jak zinterpretować wyniki własnych danych, możesz po prostu kliknąć Podsumowanie słowne.

Testy post-hoc Bonferroniego

Na końcu otrzymasz testy post-hoc, takie jak test post-hoc Bonferroniego.

Jeśli wartość p analizy wariancji jest mniejsza niż 0,05, można przyjąć, że co najmniej dwie grupy różnią się średnią. Za pomocą testu post-hoc Bonferroniego można następnie sprawdzić, które grupy się różnią.

Dlatego w tym przykładzie obliczanie testu post-hoc nie ma sensu, ponieważ wartość p analizy wariancji jest większa niż 0,05, a więc między grupami nie występuje istotna różnica.

Jeśli wartość p ANOVA jest mniejsza niż 0,05, można po prostu sprawdzić w poszczególnych wierszach, która skorygowana wartość p jest mniejsza niż 0,05. Jeśli jedna lub więcej skorygowanych wartości p jest mniejsza niż 0,05, można uznać, że odpowiednie grupy różnią się istotnie.