Ilorazy szans w regresji logistycznej

Ten samouczek zaczyna się od krótkiego omówienia regresji logistycznej, a następnie wyjaśnia, czym są szanse i jak działają. Potem omawiamy iloraz szans, a na końcu łączymy wszystko w całość, aby zobaczyć, co oznacza iloraz szans w kontekście regresji logistycznej.

Podstawowa koncepcja regresji logistycznej

Na początek: czym jest regresja logistyczna? Dokładniej: czym jest binarna regresja logistyczna?

W analizie regresji chcemy wnioskować o zmiennej wynikowej lub przewidywać ją na podstawie jednej albo kilku innych zmiennych. Zmienna wynikowa jest również nazywana zmienną zależną, a pozostałe zmienne są zmiennymi niezależnymi.

Binarna regresja logistyczna to rodzaj analizy regresji stosowany wtedy, gdy zmienna wynikowa jest binarna, czyli ma dwie możliwe wartości, na przykład „Tak” lub „Nie”, „Sukces” lub „Porażka”.

Przykład binarnej regresji logistycznej

Załóżmy, że jesteśmy badaczami i chcemy sprawdzić, czy określony lek oraz wiek danej osoby wpływają na to, czy zachoruje ona na konkretną chorobę.

Interesującym nas wynikiem jest więc to, czy u pacjentów rozwinęła się choroba, czy nie. Naszymi zmiennymi niezależnymi są lek i wiek. Za pomocą regresji logistycznej chcemy wnioskować o zmiennej wynikowej lub przewidywać ją na podstawie zmiennych niezależnych. Zobaczmy teraz, co oznaczają szanse.

Szanse w regresji logistycznej

Załóżmy, że mamy dwa możliwe wyniki pewnego zdarzenia: sukces i porażkę. Na przykład to, czy terapia jest skuteczna, czy nie. Prawdopodobieństwo, że terapia będzie skuteczna, wynosi 0,7 (czyli 70%), a więc prawdopodobieństwo porażki wynosi 1 - 0,7 = 0,3.

Czym są szanse?

Szanse definiuje się jako stosunek prawdopodobieństwa sukcesu do prawdopodobieństwa porażki. Innymi słowy, szanse przedstawiają prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w porównaniu z prawdopodobieństwem jego niewystąpienia.

W naszym przykładzie szanse wynoszą 0,7 podzielone przez 0,3, czyli 2,33. Oznacza to, że szanse sukcesu są 2,33 razy większe niż szanse porażki.

Szanse dają nam więc miarę prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w porównaniu z jego niewystąpieniem.

Czym są ilorazy szans?

Załóżmy, że mamy Grupę A (pacjentów przyjmujących lek) i Grupę B (pacjentów nieprzyjmujących leku). W Grupie A obliczyliśmy prawdopodobieństwo zachorowania równe 60% (czyli 0,6). Szanse zachorowania wynoszą więc 0,6 podzielone przez 0,4, czyli 1,5.

W Grupie B, w której pacjenci nie otrzymali leku, prawdopodobieństwo zachorowania wynosi 80% (czyli 0,8). Szanse w Grupie B wynoszą więc 0,8 podzielone przez 0,2, czyli 4.

Za pomocą ilorazu szans możemy teraz porównać obie grupy. W tym celu porównujemy szanse zachorowania w Grupie A ze szansami zachorowania w Grupie B.

Iloraz szans oblicza się po prostu, dzieląc szanse w Grupie A przez szanse w Grupie B. Otrzymujemy iloraz szans równy 0,38.

Iloraz szans równy 0,38 oznacza, że szanse zachorowania w Grupie A stanowią 38% szans zachorowania w Grupie B.

Oczywiście możemy też odwrócić kolejność; wtedy iloraz szans byłby równy szansom w Grupie B podzielonym przez szanse w Grupie A. W tym przypadku iloraz szans wynoszący około 2,67 oznacza, że szanse zachorowania w Grupie B są 2,67 razy wyższe niż szanse zachorowania w Grupie A.

Jeśli iloraz szans jest większy niż 1, szanse zdarzenia są większe w pierwszej grupie. Jeśli jest mniejszy niż 1, szanse zdarzenia są mniejsze w pierwszej grupie.

Iloraz szans w regresji logistycznej

Przede wszystkim do obliczenia regresji logistycznej potrzebujemy danych. Załóżmy, że mamy dane od 50 pacjentów. Naszą zmienną wynikową jest Choroba, zakodowana jako 0 dla „brak choroby” i 1 dla „choroba”. Mamy dwie zmienne niezależne: Lek i Wiek. Dla zmiennej Lek wartość 0 oznacza „brak leku”, a wartość 1 oznacza „lek przyjęty”.

Teraz możemy użyć tych danych do obliczenia regresji logistycznej.

Obliczanie ilorazów szans

Gdy klikniesz ten link, dane zostaną bezpośrednio otwarte w numiqo. Chcemy obliczyć regresję logistyczną, więc wybieramy Regresję. Tutaj możemy wybrać zmienną zależną i zmienne niezależne. Wybieramy więc „disease” jako zmienną zależną oraz „medication” i „age” jako zmienne niezależne. Teraz otrzymujemy wyniki regresji logistycznej.

Teraz otrzymujemy wyniki regresji logistycznej. Widzimy tutaj tabelę, której zaraz przyjrzymy się dokładniej.

W pierwszej kolumnie widzimy współczynniki definiujące nasz model. Te współczynniki można wstawić do wzoru regresji logistycznej.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o tym wzorze, zajrzyj do naszego szczegółowego samouczka o regresji logistycznej.

Teraz musimy tylko wprowadzić wartość dla zmiennej Lek, na przykład 1, co oznacza, że pacjent otrzymał lek, oraz wartość dla zmiennej Wiek, na przykład 50.

Następnie możemy obliczyć prawdopodobieństwo. W tym przypadku prawdopodobieństwo choroby wynosi 0,55, czyli 55%. Interesuje nas jednak nie samo prawdopodobieństwo, lecz iloraz szans.

Porównujemy więc szanse osoby, która przyjęła lek, z szansami osoby, która go nie przyjęła. Aby otrzymać iloraz szans, dzielimy szanse osoby, która przyjęła lek, przez szanse osoby, która go nie przyjęła. Otrzymujemy iloraz szans równy 0,64.

Iloraz szans równy 0,64 dla zmiennej Lek wskazuje, że u osób, które przyjęły lek, szanse wyniku „choroba” stanowią 0,64 szans osób, które leku nie przyjęły.

Ilorazy szans dla zmiennych ciągłych

W przypadku leku mamy dwie grupy do porównania. A co ze zmienną ciągłą, taką jak wiek? W tym przypadku po prostu sprawdzamy, co dzieje się, gdy zwiększamy wiek o jedną jednostkę. Na przykład możemy porównać szanse wyniku dla osoby w wieku 50 lat z szansami dla osoby w wieku 51 lat. Pozwala to obliczyć iloraz szans przez porównanie tych dwóch szans.

W tym przypadku otrzymujemy iloraz szans równy 1,04. Oznacza to, że przy wzroście wieku o jeden rok szanse wyniku „choroba” rosną o około 4%, przy stałych wartościach pozostałych zmiennych w modelu.

Iloraz szans lub exp(B)

Iloraz szans dla danej zmiennej można obliczyć przez eksponentowanie jej współczynnika, przy stałych wartościach pozostałych zmiennych w modelu. A więc exp(-0,45) wynosi 0,64, czyli jest ilorazem szans dla leku. Natomiast exp(0,04) wynosi 1,04, czyli jest ilorazem szans dla wieku.