Test U Manna-Whitneya

Czym jest test U Manna-Whitneya?

Test U Manna-Whitneya sprawdza, czy rozkłady w dwóch niezależnych grupach różnią się. Aby określić, czy między dwiema próbami występuje różnica, wykorzystuje się sumy rang obu prób, a nie średnie, jak w teście t dla prób niezależnych.

Test U Manna-Whitneya jest więc nieparametrycznym odpowiednikiem testu t dla prób niezależnych; wymaga spełnienia mniej rygorystycznych założeń niż test t. Dlatego test U Manna-Whitneya można stosować, gdy założenia testu t są naruszone.

Założenia testu U Manna-Whitneya

Do obliczenia testu U Manna-Whitneya potrzebne są tylko dwie niezależne próby ze zmiennymi mierzonymi co najmniej na skali porządkowej. Zmienne nie muszą spełniać założeń dotyczących określonego rozkładu.

Jeśli dane występują w parach (próby zależne), zamiast testu U Manna-Whitneya można zastosować test rang znakowanych Wilcoxona.

Hipotezy w teście U Manna-Whitneya

Test U Manna-Whitneya porównuje rozkłady w dwóch niezależnych grupach na podstawie rang. Jeśli rozkłady mają podobny kształt, wynik można interpretować jako porównanie położenia, na przykład median. Hipotezy są następujące:

• Hipoteza zerowa: Rozkłady w obu grupach w populacji są takie same.
• Hipoteza alternatywna: Rozkłady w obu grupach w populacji różnią się.

Obliczanie testu U Manna-Whitneya

Aby obliczyć test U Manna-Whitneya dla dwóch prób niezależnych, należy najpierw wyznaczyć rangi poszczególnych wartości (przykład z rangami wiązanymi znajduje się poniżej).

Następnie rangi te sumuje się dla obu grup. W powyższym przykładzie suma rang T₁ kobiet wynosi 37, a suma rang mężczyzn T₂ wynosi 29. Średnia wartość rang wynosi więc R̄₁= 6,17 dla kobiet oraz R̄₂= 5,80 dla mężczyzn. Różnica między R̄₁ a R̄₂ pokazuje teraz, czy mogą występować różnice między czasami reakcji. W kolejnym kroku wartości U oblicza się na podstawie sum rang T₁ i T₂.

gdzie n₁, n₂ oznaczają odpowiednio liczebność pierwszej i drugiej grupy. Jeśli obie grupy pochodzą z tej samej populacji, czyli grupy się nie różnią, wartość obu wartości U odpowiada wartości oczekiwanej U. Po oszacowaniu średniej i rozproszenia można obliczyć z. Jako wartość testu U Manna-Whitneya przyjmuje się mniejszą z wartości U₁ i U₂.

W zależności od wielkości próby wartość p dla testu U Manna-Whitneya oblicza się w różny sposób. Dla maksymalnie 25 przypadków stosuje się wartości dokładne, które można odczytać z tabeli. Dla większych prób jako przybliżenie można zastosować rozkład normalny.

Uwaga: W tym przykładzie należałoby właściwie użyć wartości dokładnej, mimo to zastosujemy rozkład normalny. W tym celu wartość z została po prostu wprowadzona do kalkulatora wartość z na wartość p w numiqo.

W teście dwustronnym odrzuca się hipotezę zerową, jeśli wartość bezwzględna obliczonej statystyki z przekracza wartość krytyczną.

Obliczanie testu U Manna-Whitneya z rangami wiązanymi

Jeśli kilka osób ma tę samą rangę, występują rangi wiązane. W takim przypadku zmienia się sposób obliczania sum rang oraz odchylenia standardowego wartości U. Omówimy teraz oba aspekty na przykładzie.

W przykładzie widać, że...

• ...czasy reakcji 34 występują dwa razy i dzielą rangi 2 oraz 3
• ...czasy reakcji 39 występują trzy razy i dzielą rangi 6, 7 oraz 8.

Aby uwzględnić te rangi wiązane, w każdym przypadku oblicza się średnie wartości połączonych rang. W pierwszym przypadku daje to „nową” rangę 2,5, a w drugim „nową” rangę 7. Teraz można obliczyć sumy rang T.

Ponieważ rangi wiązane są wyraźnie widoczne w górnej tabeli, oblicza się tutaj składnik potrzebny później do wyznaczenia wartości U przy występowaniu rang wiązanych.

Teraz dostępne są wszystkie wartości potrzebne do obliczenia wartości z z uwzględnieniem rang wiązanych.

Ponownie należy zauważyć, że aby założyć normalny rozkład wartości U, potrzeba w praktyce około 20 przypadków.

Obliczanie testu U Manna-Whitneya w numiqo

Test U Manna-Whitneya można łatwo obliczyć w numiqo. Wystarczy skopiować poniższą tabelę lub własne dane do kalkulatora statystycznego i kliknąć Testy hipotez. Następnie kliknij dwie zmienne i wybierz Test nieparametryczny.

numiqo wyświetla następnie następującą tabelę dla testu U Manna-Whitneya:

Test U Manna-Whitneya opiera się na rangach, dlatego wynik najpierw pokazuje średnie rangi oraz sumę rang. Czas reakcji kobiet ma nieco niższą wartość niż czas reakcji mężczyzn.

numiqo podaje istotność asymptotyczną oraz istotność dokładną. Wybór stosowanej istotności zależy od wielkości próby. Zasadniczo:

• n₁ + n₂ < 30 → istotność dokładna
• n₁ + n₂ > 30 → istotność asymptotyczna

Dlatego w tym przykładzie stosuje się istotność dokładną. Istotność (dwustronna) wynosi 0,931, a więc jest powyżej poziomu istotności 0,05. Na podstawie tych danych nie można zatem stwierdzić różnicy między czasem reakcji mężczyzn i kobiet.

Interpretacja testu U Manna-Whitneya

Mediana czasu reakcji wynosiła 39 w grupie kobiet i 39 w grupie mężczyzn. Test U Manna-Whitneya nie wykazał statystycznie istotnej różnicy między grupami, U = 14, p = 0,931, r = 0,06.

Wielkość efektu w teście U Manna-Whitneya

Aby wypowiedzieć się o wielkości efektu w teście U Manna-Whitneya, potrzebna jest standaryzowana statystyka testowa z oraz liczba przypadków n. Na tej podstawie można obliczyć wielkość efektu za pomocą poniższego równania.

W tym przypadku wielkość efektu r wynosi 0,06. Ogólnie o sile efektu można powiedzieć:

• wielkość efektu r mniejsza niż 0,3 → mały efekt
• wielkość efektu r między 0,3 a 0,5 → średni efekt
• wielkość efektu r większa niż 0,5 → duży efekt