Miary położenia

Czym są średnia, mediana i dominanta?

W statystyce opisowej średnia, mediana i dominanta są miarami położenia. Nazywa się je także miarami tendencji centralnej. Na podstawie danych zebranych w próbie miary położenia informują, gdzie znajduje się „środek” rozkładu.

Miary położenia można wykorzystać do podsumowania lub opisania zbioru danych za pomocą tylko jednego parametru. Przykładem może być informacja, że średni czas studiów studentów kierunku sportowego na uniwersytecie XY wynosi 11,1 semestru.

Wraz z miarami rozproszenia miary położenia opisują więc rozkład w statystyce. Najczęściej stosowane miary położenia to średnia, dominanta i mediana. Wszystkie te miary opisują środek rozkładu na różne sposoby. Wybór miary położenia zależy od poziomu pomiaru zmiennej oraz odporności na wartości odstające.

Średnia (średnia arytmetyczna)

Średnia jest odpowiednia dla zmiennych metrycznych, czyli wtedy, gdy dana jest metryczna skala pomiaru. Wskazuje, gdzie znajduje się środek ciężkości rozkładu. W życiu codziennym nazywana jest też „przeciętną”.

Średnią można obliczyć, sumując wszystkie wartości zmiennej, a następnie dzieląc tę sumę przez liczbę obserwacji/wartości.

Obliczanie średniej

Grupę 5 studentów statystyki zapytano, ile filiżanek kawy wypijają tygodniowo. Wyniki to 21, 25, 10, 8 i 11 filiżanek. Średnia wynosi więc 15.

Wskazówka: Tutaj możesz łatwo obliczyć średnią lub wybraną miarę położenia dla swoich danych za pomocą numiqo w kalkulatorze statystycznym.

Średnia geometryczna i średnia kwadratowa

Gdy mówi się o średniej lub przeciętnej, najczęściej chodzi o średnią arytmetyczną, istnieją jednak także inne rodzaje średnich. Inne średnie to na przykład średnia geometryczna oraz średnia kwadratowa, nazywana także pierwiastkiem średniej kwadratów (RMS).

• Średnia geometryczna: Jeśli danych jest n liczb dodatnich, średnia geometryczna jest n-tym pierwiastkiem z iloczynu tych n wartości.
• Średnia kwadratowa : Średnią kwadratową otrzymuje się, dzieląc sumę kwadratów przez liczbę wartości i wyciągając pierwiastek kwadratowy.

Mediana

Jeśli zmierzone wartości zmiennej zostaną uporządkowane według wielkości, wartość znajdująca się pośrodku jest medianą. Mediana jest więc „wartością środkową” rozkładu. Dzieli uporządkowane dane na dwie części: co najmniej połowa wartości jest nie większa od mediany i co najmniej połowa jest nie mniejsza od mediany.

Ponieważ do obliczenia mediany dane są porządkowane, zmienne muszą mieć porządkowy lub metryczny poziom pomiaru.

Aby można było obliczyć medianę, poziom pomiaru musi być porządkowy lub wyższy. Skala porządkowa oznacza, że między wartościami zmiennej istnieje porządek rangowy. Dotyczy to na przykład ocen szkolnych (skala porządkowa) lub wynagrodzenia (skala metryczna). Nie da się jednak utworzyć rankingu dla zmiennej Miejsce urodzenia, dlatego w tym przypadku nie można obliczyć mediany.

Jeśli liczba wartości cechy jest nieparzysta, mediana jest wartością, która rzeczywiście występuje w danych.

Jeśli liczba obserwacji jest parzysta, dla danych liczbowych zwykle oblicza się średnią arytmetyczną z dwóch środkowych wartości. W przypadku danych porządkowych można wskazać dwie środkowe kategorie, ponieważ ich uśrednianie nie zawsze ma sens.

Średnia a mediana

W porównaniu ze średnią mediana jest znacznie bardziej odporna na wartości odstające. Wartość odstająca zwykle ma niewielki wpływ na medianę, ale może mieć większy lub mniejszy wpływ na średnią.

Dominanta (wartość modalna)

Dominanta to najczęściej występująca wartość. Jest więc wartością o największej częstości w rozkładzie. To wartość „typowa” dla danego rozkładu.

Dominantę można stosować zarówno dla zmiennych metrycznych, jak i kategorycznych (nominalnych lub porządkowych).

Obliczanie dominanty

Przykład: W próbie 70 menedżerów z Berlina 20 jeździ Daimlerem, 25 BMW, 10 VW, a 15 Audi. Marka samochodu BMW występuje najczęściej. Dominantą jest więc „BMW”.

Dlatego dominantę można łatwo odczytać z tabeli częstości; jest to najczęściej obserwowana wartość.

Uwaga: Może istnieć także kilka dominant. Jeśli dwie lub więcej wartości występuje z największą częstością, istnieje kilka wartości modalnych. W takim przypadku mówi się o rozkładzie dwumodalnym lub wielomodalnym.

Zalety i wady średniej, mediany i dominanty

W rozkładzie symetrycznym średnia i mediana są zwykle równe. Jeśli rozkład jest dodatkowo jednomodalny, dominanta również zwykle znajduje się w tym samym miejscu. Często jednak te trzy miary mają różne wartości. Pojawia się więc pytanie, której miary tendencji centralnej użyć. Nie ma jednej reguły dla wszystkich sytuacji, ale są wskazówki ułatwiające decyzję.

Średnia: Średnia jest zdecydowanie najczęściej stosowana. Jej wadą jest wrażliwość na wartości odstające, to, że sama wartość średniej nie musi występować w danych, oraz to, że aby interpretacja była sensowna, dane powinny mieć metryczny poziom pomiaru.

Mediana: Dużą zaletą mediany jest to, że jest bardzo odporna na wartości odstające, a dane muszą być mierzone co najmniej na skali porządkowej.

Dominanta: Dominanta jest wartością, która występuje najczęściej, co ma tę zaletę, że wartość ta rzeczywiście pojawia się w danych. Ponadto dominantę można obliczyć także dla danych, których nie da się uporządkować, a więc mających nominalny poziom pomiaru. Wadą jest to, że dominanta nie uwzględnia pozostałych danych.

Przykład miar położenia

Za pomocą internetowego kalkulatora statystycznego numiqo możesz obliczyć średnią, medianę i dominantę swoich danych.

Tak działa to w numiqo: Jako przykład można wykorzystać wynik z egzaminu ze statystyki. W tym celu skopiuj dane do kalkulatora statystycznego, kliknij Statystyka opisowa i wybierz zmienną „Wynik”.

Wynik wygląda wtedy następująco:

Obliczanie średniej:

Średnią oblicza się, dzieląc sumę wszystkich wartości przez liczbę wartości.

Obliczanie mediany:

Ze względu na parzystą liczbę wartości medianę otrzymuje się przez dodanie dwóch środkowych wartości. Następnie sumę dzieli się przez dwa.