Test Kruskala-Wallisa

Czym jest test Kruskala-Wallisa?

Test Kruskala-Wallisa (nazywany także testem H) to nieparametryczny test statystyczny służący do porównywania trzech lub większej liczby grup niezależnych w celu sprawdzenia, czy występują między nimi istotne statystycznie różnice. Test Kruskala-Wallisa rozszerza test U Manna-Whitneya na więcej niż dwie grupy niezależne.

Test Kruskala-Wallisa stosuje się wtedy, gdy nie są spełnione założenia jednoczynnikowej analizy wariancji. Ponieważ test Kruskala-Wallisa jest testem nieparametrycznym, wykorzystywane dane nie muszą mieć rozkładu normalnego.

Dane muszą mieć co najmniej poziom skali porządkowej , a próby muszą być niezależne.

W teście Kruskala-Wallisa wystarczające są zmienne porządkowe, ponieważ testy nieparametryczne analizują rangi danych, a nie surowe wartości.

Przykłady zastosowania testu Kruskala-Wallisa

Dla testu Kruskala-Wallisa można oczywiście wykorzystać te same przykłady co dla jednoczynnikowej analizy wariancji, z tą różnicą, że dane nie muszą mieć rozkładu normalnego.

Przykład medyczny:

Dla firmy farmaceutycznej chcesz sprawdzić, czy lek XY wpływa na masę ciała. W tym celu lek podaje się 20 uczestnikom, 20 uczestników otrzymuje placebo, a 20 uczestników nie otrzymuje ani leku, ani placebo.

Przykład z nauk społecznych:

Czy 3 grupy wiekowe różnią się pod względem dziennego czasu oglądania telewizji?

Pytania badawcze i hipotezy

Pytanie badawcze dla testu Kruskala-Wallisa może brzmieć: Czy rozkłady wyników w kilku grupach niezależnych różnią się od siebie? Z tego pytania wynikają hipoteza zerowa i alternatywna.

Hipoteza zerowa

Rozkłady wyników we wszystkich porównywanych grupach są takie same.

Hipoteza alternatywna

Rozkład wyników w co najmniej jednej grupie różni się od rozkładów w pozostałych grupach.

Założenia testu Kruskala-Wallisa

Aby obliczyć test Kruskala-Wallisa, wystarczy dysponować kilkoma niezależnymi próbami losowymi, w których cechy są mierzone co najmniej na skali porządkowej. Zmienne nie muszą spełniać założenia określonego rozkładu.

Jeśli masz próbę zależną, użyj testu Friedmana.

Obliczanie testu Kruskala-Wallisa

Obliczanie rangowej analizy wariancji Kruskala-Wallisa jest podobne do obliczania testu U Manna-Whitneya, który jest nieparametrycznym odpowiednikiem testu t dla prób niezależnych.

Załóżmy, że hipoteza zerowa jest prawdziwa, a więc nie ma różnicy między próbami niezależnymi. Wtedy wysokie i niskie rangi są losowo rozłożone między próbami i powinny być równomiernie rozłożone między grupami. Dlatego prawdopodobieństwo przypisania rangi do grupy jest takie samo dla wszystkich grup.

Jeśli nie ma różnicy między grupami, średnia wartość rang również powinna być taka sama we wszystkich grupach. Wartość oczekiwana rang dla każdej grupy jest wtedy dana wzorem

Każda próba ma tę samą wartość oczekiwaną rang, która odpowiada wartości oczekiwanej w populacji. Potrzebna jest również wariancja rang, którą można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

W teście Kruskala-Wallisa oblicza się statystykę testową H. Dla dostatecznie dużych prób jej rozkład przy hipotezie zerowej przybliża rozkład χ². Wartość H wynika ze wzoru:

Krytyczną wartość H można odczytać z tabeli krytycznych wartości χ².

Załóżmy, że zmierzono czas reakcji w trzech grupach i chcesz sprawdzić, czy istnieje między nimi różnica. Aby to ustalić, stosujesz test H (test Kruskala-Wallisa).

Najpierw przypisujemy rangę każdej osobie, a następnie obliczamy sumę rang i średnią rangę.

Zmierzyliśmy czas reakcji u dwunastu osób, więc liczba przypadków wynosi dwanaście. Stopnie swobody są określone jako liczba grup minus jeden, dlatego mamy dwa stopnie swobody.

Teraz mamy obliczone wszystkie wartości potrzebne do wyznaczenia statystyki testowej H.

Po obliczeniu wartości H, czyli wartości chi-kwadrat, krytyczną wartość chi-kwadrat można odczytać z tabeli krytycznych wartości chi-kwadrat.

Przy poziomie istotności 5% krytyczna wartość chi-kwadrat wynosi zatem 5,991. Ta wartość krytyczna jest większa niż obliczona wartość chi-kwadrat, czyli H. Dlatego hipoteza zerowa nie zostaje odrzucona. Na podstawie tych danych nie wykazano różnicy w czasie reakcji między trzema grupami.

Test post-hoc

Test Kruskala-Wallisa pozwala ustalić, czy co najmniej dwie grupy różnią się od siebie. Nie odpowiada jednak na pytanie, które grupy się różnią; do tego potrzebny jest test post-hoc.

W tym celu odpowiednim testem nieparametrycznym do wielokrotnych porównań parami jest test Dunna.

Testy Dunna-Bonferroniego

Aby sprawdzić, które pary się różnią, poszczególne grupy można porównać parami. Test Dunna służy do obliczenia wartości p dla każdej pary. Aby porównać grupę A i B, wartość z oblicza się za pomocą następującego wzoru.

gdzie i jest jedną z grup, a y_i= W_A-W_B jest różnicą średnich sum rang. Błąd standardowy jest dany wzorem

Gdzie N oznacza liczbę wszystkich przypadków, r liczbę rang wiązanych, a τ_s liczbę przypadków na tej randze.

Obliczoną wartość p można następnie skorygować za pomocą poprawki Bonferroniego. Poprawka Bonferroniego jest najprostszą metodą przeciwdziałania problemowi porównań wielokrotnych. W tym przypadku obliczoną wartość p mnoży się przez liczbę porównań parami.

Jeśli skorygowana wartość p w porównaniu parami jest mniejsza niż poziom istotności (zwykle 0,05), hipoteza zerowa mówiąca o braku różnicy zostaje odrzucona. Jeśli więc skorygowana wartość p jest mniejsza niż 0,05, przyjmuje się, że dane dwie grupy różnią się od siebie.

numiqo automatycznie wyświetla test Dunna-Bonferroniego podczas obliczania testu Kruskala-Wallisa.

Oblicz test Kruskala-Wallisa online w numiqo

Oczywiście możesz obliczyć test Kruskala-Wallisa online z numiqo. Wystarczy przejść do kalkulatora statystycznego, skopiować dane do tabeli w kalkulatorze i wybrać zakładkę „Testy hipotez”. Następnie wybierz zmienne, które chcesz przeanalizować, i wybierz „Test Kruskala-Wallisa”.

numiqo podaje następnie wyniki wraz z interpretacją w następującej formie:

Interpretacja testu Kruskala-Wallisa

Podobnie jak w każdym statystycznym teście hipotez, na końcu interesuje nas obliczona wartość p. Pytanie brzmi, czy obliczona wartość p jest mniejsza, czy większa od poziomu istotności, zwykle ustalonego na 0,05. Jeśli wartość p jest większa, hipotezy zerowej nie odrzuca się; w przeciwnym razie zostaje ona odrzucona.

W powyższym przykładzie wartość p wynosi 0,779, a więc jest większa niż 0,05. Hipoteza zerowa nie zostaje zatem odrzucona. Na podstawie tych danych nie wykazano różnicy między poszczególnymi grupami pod względem czasu reakcji.

Raportowanie wyników testu Kruskala-Wallisa

Jak raportuje się wyniki testu Kruskala-Wallisa?

Obliczono test Kruskala-Wallisa, aby sprawdzić, czy grupy A, B i C wpływają na czas reakcji. Test Kruskala-Wallisa wykazał, że nie ma istotnej różnicy między kategoriami A, B i C zmiennej niezależnej pod względem zmiennej zależnej czas reakcji, p=0,779. Tym samym, na podstawie dostępnych danych, hipoteza zerowa nie zostaje odrzucona.