Krzywa Kaplana-Meiera

Krzywa Kaplana-Meiera jest często używana do analizy danych typu czas do zdarzenia, takich jak czas do zgonu lub czas do wystąpienia określonego zdarzenia. W tym celu krzywa Kaplana-Meiera przedstawia graficznie współczynnik przeżycia lub funkcję przeżycia. Czas jest przedstawiony na osi x, a współczynnik przeżycia na osi y.

Współczynnik przeżycia

Pierwsze pytanie brzmi: czym jest współczynnik przeżycia. Spójrzmy na to na przykładzie. Załóżmy, że jesteś technikiem dentystycznym i chcesz zbadać „czas przeżycia” wypełnienia w zębie.

Czas początkowy to moment, w którym osoba udaje się do dentysty na założenie wypełnienia, a czas końcowy, czyli zdarzenie, to moment, w którym wypełnienie pęka. Czas między tymi dwoma zdarzeniami jest przedmiotem badania.

Patrząc na krzywą Kaplana-Meiera, możesz teraz zobaczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że wypełnienie przetrwa dłużej niż określony punkt w czasie.

Oś pozioma przedstawia więc czas, zwykle mierzony w miesiącach lub latach. Oś pionowa przedstawia oszacowane prawdopodobieństwo.

Na przykład może Cię interesować prawdopodobieństwo, że wypełnienie przetrwa dłużej niż 5 lat. W tym celu odczytujesz z wykresu wartość dla 5 lat, czyli współczynnik przeżycia. Po 5 latach krzywa Kaplana-Meiera daje wartość 0,7. Oznacza to 70% szans, że wypełnienie przetrwa dłużej niż 5 lat.

Obliczanie krzywej Kaplana-Meiera

Aby utworzyć krzywą Kaplana-Meiera, najpierw potrzebujesz danych dla swoich badanych. Załóżmy, że wypełnienie utrzymało się 3 lata u pierwszej osoby, 4 lata u drugiej osoby, 4 lata u trzeciej osoby i tak dalej.

Załóżmy, że żaden z przypadków nie jest „cenzurowany”. Dane są już ułożone tak, że najkrótszy czas przeżycia znajduje się na górze, a najdłuższy na dole.

Teraz tworzymy drugą tabelę, której możemy użyć do narysowania krzywej Kaplana-Meiera. W tym celu patrzymy na punkty czasowe w lewej tabeli i dodajemy czas zero. Mamy więc punkty czasowe 0, następnie 3, 4, 6, 7, 8, 11 i 13. Łącznie mamy 10 badanych.

Teraz sprawdzamy, ile wypełnień wypada w każdym czasie. Wpisujemy to w kolumnie m. W czasie 0 nie wypadło żadne wypełnienie. Po 3 latach wypadło jedno wypełnienie, po 4 latach dwa, po 6 latach jedno. To samo robimy dla wszystkich pozostałych czasów.

Następnie sprawdzamy liczbę przypadków, które przetrwały do danego czasu, plus liczbę przypadków, w których zdarzenie występuje dokładnie w tym czasie. Wpisujemy to w kolumnie n.

Zatem n to liczba przypadków, które przetrwały do tego punktu, plus osoby, u których zdarzenie wystąpiło dokładnie w tym punkcie.

Po zero latach nadal mamy wszystkie 10 osób. Po 3 latach otrzymujemy 10 dla n: 9 osób nadal ma nienaruszone wypełnienie, a u jednej osoby wypełnienie wypadło dokładnie po 3 latach.

Najprostszym sposobem uzyskania n jest wzięcie poprzedniej wartości n i odjęcie poprzedniej wartości m. Otrzymujemy więc 10 - 1 równa się 9. Następnie 9 minus 2 równa się 7, 7 - 1 równa się 6... i tak dalej.

Z kolumny n możemy teraz obliczyć współczynniki przeżycia. W tym celu po prostu dzielimy n przez całkowitą liczbę, czyli 10.

Zatem 10 podzielone przez 10 równa się 1, 9 podzielone przez 10 równa się 0,9, a 7 podzielone przez 10 równa się 0,7. Teraz robimy to samo dla wszystkich pozostałych.

Rysowanie krzywej Kaplana-Meiera

Możemy teraz wykreślić krzywą Kaplana-Meiera. W czasie 0 mamy wartość 1, po 3 latach wartość 0,9, czyli 90%. Po 4 latach otrzymujemy 0,7, po 6 latach 0,6 i tak dalej.

Na podstawie krzywej Kaplana-Meiera możemy teraz zobaczyć, jaki odsetek wypełnień nie wypadł po określonym czasie.

Dane cenzurowane

Następnie sprawdzamy, co zrobić, gdy występują dane cenzurowane. W tym celu do przykładu dodano dane cenzurowane w tych trzech miejscach. Jeśli nie masz pewności, czym są dane cenzurowane, zobacz samouczek dotyczący analizy przeżycia.

Musimy teraz wprowadzić te dane do naszej tabeli krzywej Kaplana-Meiera. Robimy to w następujący sposób: tworzymy nasze m dokładnie tak jak wcześniej, sprawdzając, ile przypadków zakończyło się zdarzeniem w każdym punkcie czasowym.

Teraz dodajemy kolumnę q, w której wpisujemy, ile przypadków zostało cenzurowanych w każdym czasie.

Zwróć uwagę, że czas, w którym wystąpił każdy przypadek cenzurowany, nie otrzymuje własnego wiersza, lecz jest przypisywany do poprzedniego czasu.

Spójrzmy na ten przypadek. Cenzurowanie nastąpiło w czasie 9. W tej tabeli nie ma jednak zdarzenia po dziewięciu latach i również go nie dodajemy. Ta osoba jest dodawana w czasie 8.

Możemy teraz ponownie obliczyć wartości dla krzywej przeżycia. Jeśli mamy dane cenzurowane, jest to nieco bardziej złożone.

W tym celu w pierwszym kroku zapisujemy wartości. Otrzymujemy je, obliczając n-m/n. Na przykład w trzecim wierszu otrzymujemy wartość 10/12 z 12-2 podzielonego przez 12.

Obliczenie rzeczywistej wartości jest iteracyjne. W tym celu mnożymy wynik z poprzedniego wiersza przez właśnie obliczoną wartość.

Tak więc w pierwszym wierszu otrzymujemy 1, następnie obliczamy 12/13 razy 1, co daje 0,923. W kolejnym wierszu obliczamy 10/12 razy 0,923 i otrzymujemy wartość 0,769. Tę wartość ponownie bierzemy do następnego wiersza.

Robimy to dla wszystkich wierszy. Następnie możemy wykreślić krzywą Kaplana-Meiera z tymi danymi w taki sam sposób jak wcześniej.

Porównywanie różnych grup

Jeśli porównujesz kilka grup lub kategorii (np. grupy leczenia), krzywa Kaplana-Meiera składa się z kilku linii, z których każda reprezentuje inną grupę. Każda linia pokazuje oszacowany współczynnik przeżycia dla danej grupy. Aby sprawdzić, czy między grupami występuje istotna statystycznie różnica, można użyć testu log-rank.

Założenia krzywej Kaplana-Meiera

Losowe lub nieinformacyjne cenzurowanie: To założenie mówi, że wystąpienie cenzurowania nie jest związane z prawdopodobieństwem wystąpienia badanego zdarzenia. Innymi słowy, cenzurowanie powinno być losowe i niezależne od czynników wpływających na wynik zdarzenia. Jeśli cenzurowanie nie jest nieinformacyjne, oszacowane prawdopodobieństwa przeżycia mogą być obciążone.

Niezależność cenzurowania: To założenie przyjmuje, że czasy cenzurowania różnych osób są od siebie niezależne. Oznacza to, że wystąpienie lub czas cenzurowania u jednego uczestnika nie powinny dostarczać żadnych informacji o czasach cenzurowania u innych uczestników.

Porównywalne warunki obserwacji: Osoby włączone do badania w różnych momentach powinny mieć porównywalne rokowanie. Jeśli ryzyko zdarzenia zmienia się istotnie wraz z okresem kalendarzowym, na przykład z powodu zmiany sposobu leczenia, oszacowanie może wymagać ostrożnej interpretacji.

Uwzględnienie ryzyk konkurencyjnych: Jeśli inne zdarzenie może uniemożliwić wystąpienie badanego zdarzenia, zwykła krzywa Kaplana-Meiera może nie być odpowiednią miarą jego prawdopodobieństwa. W takiej sytuacji należy rozważyć analizę ryzyk konkurencyjnych.

Jeśli obserwujesz zdarzenia konkurencyjne, użyj skumulowanej funkcji zapadalności zamiast interpretować jeden minus krzywą Kaplana-Meiera jako prawdopodobieństwo zdarzenia.

Tworzenie krzywej Kaplana-Meiera w numiqo

Aby utworzyć krzywą Kaplana-Meiera w numiqo, po prostu przejdź do kalkulatora statystycznego na numiqo.com i skopiuj własne dane do tabeli.

Teraz kliknij „Plus” i wybierz Analizę przeżycia. Tutaj możesz utworzyć krzywą Kaplana-Meiera online. Jeśli wybierzesz zmienną „Czas”, numiqo utworzy krzywą Kaplana-Meiera i otrzymasz tabelę przeżycia. Jeśli nie klikniesz statusu, numiqo założy, że dane nie są cenzurowane. Jeśli tak nie jest, kliknij również zmienną zawierającą informację, który przypadek jest cenzurowany, a który nie. Jeden oznacza wystąpienie zdarzenia, a 0 oznacza cenzurowanie. Następnie otrzymasz odpowiednie wyniki.