Test Friedmana

Czym jest test Friedmana?

Test Friedmana jest nieparametrycznym testem statystycznym stosowanym do analizy danych z pomiarami powtarzanymi. Używa się go przede wszystkim wtedy, gdy założenia parametrycznej analizy wariancji z powtarzanymi pomiarami nie są spełnione. Stanowi nieparametryczną alternatywę dla ANOVA z powtarzanymi pomiarami.

Czym jest próba zależna (pomiar powtarzany)? W próbie zależnej mierzone wartości są ze sobą powiązane. Na przykład jeśli próba składa się z pacjentów po operacji kolana, a każda z tych osób jest badana przed operacją oraz tydzień i dwa tygodnie po operacji, mamy do czynienia z próbą zależną. Dzieje się tak, ponieważ tę samą osobę badano w kilku punktach czasowych.

Test Friedmana a ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Można słusznie powiedzieć, że analiza wariancji z powtarzanymi pomiarami sprawdza dokładnie to samo, ponieważ również bada, czy istnieje różnica między trzema lub większą liczbą prób zależnych.

Tak, test Friedmana jest nieparametrycznym odpowiednikiem analizy wariancji z powtarzanymi pomiarami. Na czym jednak polega różnica między tymi dwoma testami?

Analiza wariancji sprawdza, w jakim stopniu różnią się zmierzone wartości w próbie zależnej. Test Friedmana wykorzystuje natomiast rangi zamiast rzeczywistych wartości pomiarów.

Punkt czasowy, w którym dana osoba ma najwyższą wartość, otrzymuje rangę 1, punkt czasowy z drugą najwyższą wartością otrzymuje rangę 2, a punkt czasowy z najmniejszą wartością otrzymuje rangę 3. Robi się tak dla wszystkich osób, czyli dla wszystkich wierszy. Następnie sumuje się rangi poszczególnych punktów czasowych.

Przy pierwszym pomiarze otrzymujemy sumę 7, przy drugim sumę 8, a przy trzecim sumę 9. Teraz możemy sprawdzić, jak bardzo różnią się te sumy rang.

Dlaczego używa się rang? Dużą zaletą jest to, że gdy nie analizuje się różnicy średnich, lecz sumy rang, dane nie muszą mieć rozkładu normalnego.

W uproszczeniu: jeśli dane mają rozkład normalny, stosuje się testy parametryczne. Dla więcej niż dwóch prób zależnych jest to ANOVA z powtarzanymi pomiarami.

Jeśli dane nie mają rozkładu normalnego, stosuje się testy nieparametryczne. Dla więcej niż dwóch prób zależnych jest to test Friedmana.

Hipotezy w teście Friedmana

To prowadzi nas do pytania badawczego, na które można odpowiedzieć za pomocą testu Friedmana. Pytanie badawcze brzmi: czy istnieje istotna różnica między więcej niż dwiema grupami zależnymi? Hipoteza zerowa i alternatywna są zatem następujące:

• Hipoteza zerowa: rozkłady wyników w porównywanych warunkach są takie same.
• Hipoteza alternatywna: co najmniej jeden warunek różni się od pozostałych.

Jak wspomniano wcześniej, test Friedmana nie wykorzystuje wartości rzeczywistych, lecz rangi.

Przykład testu Friedmana

Możesz chcieć sprawdzić, czy terapia po przepuklinie krążka międzykręgowego wpływa na odczuwanie bólu przez pacjenta. W tym celu mierzysz nasilenie bólu przed terapią, w jej połowie oraz na końcu terapii. Następnie chcesz wiedzieć, czy występuje różnica między poszczególnymi punktami czasowymi.

Zmienną niezależną jest więc czas, czyli przebieg terapii w czasie. Zmienną zależną jest odczuwanie bólu. Masz teraz przebieg odczuwania bólu u każdej osoby w czasie i chcesz sprawdzić, czy terapia wiąże się ze zmianami w odczuwaniu bólu.

Mówiąc prosto, w jednym przypadku terapia ma wpływ, a w innym nie ma wpływu na odczuwanie bólu. W jednym przypadku odczuwanie bólu nie zmienia się w czasie, a w innym zmienia się.

Obliczanie testu Friedmana

Załóżmy, że chcesz zbadać, czy istnieje różnica w responsywności osób rano, w południe i wieczorem. W tym celu zmierzono reaktywność 7 osób rano, w południe i wieczorem.

W pierwszym kroku musimy przypisać wartościom rangi. W tym celu analizujemy każdy wiersz osobno.

W pierwszym wierszu, czyli u pierwszej osoby, 45 jest największą wartością i otrzymuje rangę 1, następnie 36 otrzymuje rangę 2, a 34 rangę 3. To samo robimy teraz dla drugiego wiersza. Tutaj 36 jest największą wartością i otrzymuje rangę 1, następnie 33 otrzymuje rangę 2, a 31 rangę 3. Robimy to dla każdego wiersza.

Następnie możemy obliczyć sumę rang dla każdej pory dnia, czyli po prostu sumujemy wszystkie rangi w każdej kolumnie. Rano otrzymujemy 17, w południe 11, a wieczorem 14.

Gdyby nie było różnicy między poszczególnymi punktami czasowymi pod względem czasu reakcji, oczekiwalibyśmy wartości oczekiwanej we wszystkich punktach czasowych. Wartość oczekiwaną otrzymuje się z pierwszego równania na ilustracji i w tym przypadku wynosi ona 14. Jeśli więc nie ma różnicy między porankiem, południem i wieczorem, faktycznie oczekiwalibyśmy sumy rang równej 14 we wszystkich 3 punktach czasowych.

Następnie możemy obliczyć wartość Chi²; otrzymujemy ją z drugiego równania na ilustracji. N to liczba osób, czyli 7, k to liczba punktów czasowych, czyli 3, a suma R² wynosi 17² + 11² + 14². W ten sposób otrzymujemy wartość Chi² równą 2,57.

Teraz potrzebujemy liczby stopni swobody. Jest ona równa liczbie punktów czasowych minus 1, więc w naszym przypadku wynosi 2.

W tym miejscu możemy odczytać krytyczną wartość Chi² z tabeli wartości krytycznych. W tym celu przyjmujemy ustalony poziom istotności, powiedzmy 0,05, oraz liczbę stopni swobody. Możemy odczytać, że krytyczna wartość Chi² wynosi 5,99. Jest ona większa niż obliczona przez nas wartość. Zatem hipoteza zerowa nie zostaje odrzucona i na podstawie tych danych nie ma różnicy w responsywności w różnych punktach czasowych. Gdyby obliczona wartość Chi² była większa od wartości krytycznej, odrzucilibyśmy hipotezę zerową.

Obliczanie testu Friedmana w numiqo

Do obliczenia testu Friedmana możesz po prostu użyć numiqo. W tym celu przejdź do kalkulatora testu Friedmana na numiqo.com i skopiuj własne dane do tabeli.

Teraz otrzymujemy wyniki testu Friedmana.

Najpierw otrzymujesz statystyki opisowe. Następnie możesz odczytać wartość p. Jeśli nie wiesz dokładnie, jak interpretować wartość p, możesz po prostu spojrzeć na interpretację słowną. Test Friedmana wykazał, że nie ma istotnej różnicy między zmiennymi. Chi² = 2,57, p = 0,276

Jeśli wartość p jest większa niż ustalony poziom istotności, hipoteza zerowa nie jest odrzucana. Hipoteza zerowa mówi, że nie ma różnicy między grupami. Zwykle stosuje się poziom istotności 0,05, więc ta wartość p jest większa.

Test post-hoc

Ponadto numiqo udostępnia test post-hoc. Jeśli wartość p jest mniejsza niż 0,05, możesz sprawdzić, które konkretne grupy różnią się od siebie.

Tutaj w każdym wierszu rozpatrywane są dwie grupy i testowana jest hipoteza zerowa, że obie próby mają takie same rozkłady. „Skorygowaną wartość p” uzyskuje się przez pomnożenie wartości p przez liczbę porównań parami, przy czym wynik nie może przekroczyć 1.

Jeśli test post-hoc wskazuje, że wartość p jest mniejsza niż 0,05, przyjmuje się, że te grupy różnią się od siebie.