Miary rozproszenia

Czym są miary rozproszenia?

Odchylenie standardowe, wariancja i rozstęp należą do miar rozproszenia (miar zmienności) w statystyce opisowej. Oblicza się je, aby opisać rozproszenie wartości w próbie wokół miary położenia.

Miary tendencji centralnej informują o środku danych, natomiast miary rozproszenia pokazują, jak bardzo dane są rozproszone wokół tego środka.

Odchylenie standardowe i wariancja

Najczęściej stosowanymi miarami rozproszenia dla zmiennych metrycznych są odchylenie standardowe i wariancja. Obie miary odnoszą każdą wartość zmiennej do średniej, wskazując tym samym, jak daleko poszczególne wartości są rozproszone wokół średniej.

Czym jest odchylenie standardowe?

Odchylenie standardowe opisuje rozproszenie wartości zmiennej wokół średniej. Jest pierwiastkiem ze średniej kwadratów odchyleń od średniej.

Odchylenie standardowe wskazuje zatem, jak bardzo rozkład wartości rozprasza się wokół średniej. Jeśli poszczególne wartości są silnie rozproszone wokół średniej, otrzymujemy duże odchylenie standardowe zmiennej. Do obliczeń stosuje się dwa nieco różne wzory. Z jednej strony odchylenie standardowe można obliczyć dla całej populacji. Z drugiej strony można je również obliczyć, gdy dostępna jest tylko jedna próba. Jeśli dostępne są wszystkie wartości populacji, otrzymuje się następujący wynik

Często jednak dane dla całej populacji nie są dostępne. Dlatego zwykle używa się próby, aby oszacować odchylenie standardowe populacji. W takim przypadku obliczenie daje

Różnica między tymi dwoma wzorami polega na tym, że w jednym dzieli się przez n, a w drugim przez n-1. Zwyczajowo używa się s dla odchylenia standardowego próby oraz σ dla odchylenia standardowego populacji.

Czym jest wariancja?

Podobnie jak odchylenie standardowe, wariancja opisuje rozproszenie wokół średniej. Dla populacji sumę kwadratów odchyleń dzieli się przez liczbę wartości. Przy szacowaniu wariancji populacji na podstawie próby zwykle dzieli się ją przez n-1.

Wariancja opisuje więc średnią kwadratową odległość od średniej. Ponieważ wartości są podnoszone do kwadratu, wynik ma inną jednostkę (jednostkę podniesioną do kwadratu) niż wartości pierwotne. Dlatego interpretacja wyników jest trudniejsza.

Wariancja a odchylenie standardowe

Wariancja opiera się na kwadratach odchyleń od średniej, a odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji. Wariancja jest więc kwadratem odchylenia standardowego.

Jednak podniesienie do kwadratu prowadzi do miary trudnej do interpretacji, ponieważ jednostka nie odpowiada oryginalnym danym. Z tego powodu do opisu próby zaleca się zwykle stosowanie odchylenia standardowego, ponieważ ułatwia ono interpretację.

Rozstęp

Rozstęp to różnica między minimum a maksimum rozkładu, czyli odległość między najmniejszą i największą wartością. Na przykład, jeśli mierzymy wzrost 7 osób, a największa wartość wynosi 1,90 m, natomiast najmniejsza 1,50 m, rozstęp oblicza się jako 1,90 m - 1,50 m = 0,4 m.

Rozstęp, często oznaczany skrótem R, oblicza się więc następująco

Kwartyle

Kwartyle dzielą dane na cztery możliwie równe części. Aby obliczyć kwartyle, dane muszą być posortowane od najmniejszej do największej wartości.

• Pierwszy kwartyl (Q1): wartość, poniżej której znajduje się około 25% danych.
• Drugi kwartyl (Q2): mediana danych.
• Trzeci kwartyl (Q3): wartość, poniżej której znajduje się około 75% danych.

Dokładny sposób wyznaczania kwartylów może zależeć od przyjętej metody obliczeń, zwłaszcza w małych zbiorach danych.

Rozstęp międzykwartylowy

W przeciwieństwie do rozstępu, który obejmuje 100% wszystkich wartości, często chcemy znać zakres, w którym znajduje się środkowe 50% wszystkich wartości. Ta miara rozproszenia nazywa się rozstępem międzykwartylowym (IQR). Dolne i górne 25% wartości nie jest więc uwzględniane przy rozstępie międzykwartylowym. Rozstęp międzykwartylowy oblicza się następująco: IQR = Q3 - Q1.

Przykład miar rozproszenia

obliczanie rozstępu, wariancji i odchylenia standardowego zostanie teraz zilustrowane przykładem. W tym celu zostaną wykorzystane wyniki studentów z egzaminu ze statystyki (punkty).

Tak działa to w numiqo: kalkulator statystyk opisowych w numiqo poda rozstęp, wariancję i odchylenie standardowe. Skopiuj powyższe dane do internetowego kalkulatora statystycznego, kliknij Statystyki opisowe i wybierz zmienną Punkty. Wynik będzie wyglądał tak:

Obliczanie wariancji:

W tym przykładzie wariancję próby oblicza się jako sumę kwadratów odchyleń wszystkich wartości od średniej podzieloną przez n-1.

Obliczanie odchylenia standardowego:

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Obliczanie rozstępu:

Rozstęp otrzymuje się przez odjęcie najmniejszej wartości od największej.