Analiza korelacji

Czym jest analiza korelacji?

Analiza korelacji to metoda statystyczna służąca do oceny związku między dwiema zmiennymi, na przykład zależności między wzrostem a rozmiarem buta.

Siłę i kierunek związku mierzy się za pomocą współczynnika korelacji, który przyjmuje wartości od -1 do +1. Współczynnik bliski +1 wskazuje na silną korelację dodatnią, natomiast wartość bliska -1 oznacza silną korelację ujemną. Wartości w pobliżu zera sugerują słaby związek badanego rodzaju lub jego brak. Nie wykluczają jednak innej, na przykład nieliniowej zależności.

Korelacja a przyczynowość

Jeżeli analiza korelacji ujawni związek między dwiema zmiennymi, można dalej zbadać, czy jedna zmienna może służyć do przewidywania drugiej (np. w modelu regresji). Na przykład, jeśli zostanie stwierdzona korelacja, można sprawdzić, czy wiek, w którym dziecko zaczyna wypowiadać zdania, może być wykorzystany do przewidywania jego przyszłych osiągnięć szkolnych za pomocą analizy regresji liniowej.

Należy jednak zachować ostrożność! Korelacja nie oznacza przyczynowości. Każdą wykrytą korelację należy przeanalizować dokładniej i nie interpretować jej od razu jako związku przyczynowego, nawet jeśli zależność wydaje się oczywista.

W niektórych przypadkach charakter zmiennych pozwala wykluczyć jeden z kierunków przyczynowości. Na przykład wynagrodzenie nie może zmienić wieku danej osoby. Nie oznacza to jednak automatycznie, że korelacja między wiekiem a wynagrodzeniem jest dowodem bezpośredniego wpływu wieku na wynagrodzenie. Zależność mogą wyjaśniać także inne czynniki, takie jak doświadczenie zawodowe.

Interpretacja korelacji

Za pomocą analizy korelacji można sformułować dwa wnioski:

• jeden dotyczący kierunku
• oraz jeden dotyczący siły

liniowego związku między dwiema zmiennymi metrycznymi lub porządkowymi. Kierunek wskazuje, czy korelacja jest dodatnia czy ujemna, natomiast siła określa, czy związek między zmiennymi jest silny czy słaby.

Wykres rozrzutu i korelacja

Równie ważna jak analiza współczynnika korelacji jest graficzna ocena związku dwóch zmiennych na wykresie rozrzutu.

Wykres rozrzutu pozwala wstępnie ocenić, czy istnieje korelacja, czy jest ona liniowa czy nieliniowa oraz czy występują wartości odstające.

Test istotności korelacji

Jeśli w próbie występuje korelacja, nadal trzeba sprawdzić, czy istnieją wystarczające dowody na to, że korelacja występuje również w populacji. Pojawia się więc pytanie, kiedy współczynnik korelacji można uznać za statystycznie istotny.

Istotność współczynników korelacji można testować za pomocą testu t. Z reguły sprawdza się, czy współczynnik korelacji istotnie różni się od zera, czyli testuje się brak liniowej zależności. W takim przypadku hipoteza zerowa mówi, że między rozważanymi zmiennymi nie ma korelacji. Natomiast hipoteza alternatywna zakłada, że korelacja istnieje.

Tak jak w każdym innym teście hipotez, najpierw ustala się poziom istotności, zwykle na 5%. Jeśli obliczona wartość p jest niższa niż 5%, hipoteza zerowa zostaje odrzucona. Oznacza to, że dane przemawiają za istnieniem związku między zmiennymi w populacji.

Wartość t do testowania hipotezy jest dana wzorem

gdzie n oznacza liczebność próby, a r to wyznaczona korelacja w próbie. Odpowiadającą wartość p można łatwo obliczyć w kalkulatorze korelacji na numiqo.com.

Analiza korelacji Pearsona

Za pomocą analizy korelacji Pearsona otrzymujesz informację o liniowej korelacji między zmiennymi mierzonymi na skali metrycznej. Do obliczeń wykorzystuje się odpowiednią kowariancję. Kowariancja przyjmuje wartość dodatnią, jeśli między zmiennymi występuje korelacja dodatnia, oraz wartość ujemną, jeśli występuje korelacja ujemna. Kowariancję oblicza się następująco:

Kowariancja nie jest jednak standaryzowana i może przyjmować wartości od minus do plus nieskończoności. Utrudnia to porównywanie siły zależności między różnymi zmiennymi. Z tego powodu oblicza się współczynnik korelacji, nazywany także współczynnikiem korelacji iloczynowo-momentowej. Współczynnik korelacji uzyskuje się przez normalizację kowariancji. Do tej normalizacji wykorzystuje się odchylenia standardowe obu analizowanych zmiennych, a współczynnik korelacji oblicza się jako

Współczynnik korelacji Pearsona może teraz przyjmować wartości od -1 do +1 i można go interpretować następująco

• Wartość +1 oznacza całkowicie dodatni związek liniowy (im więcej, tym więcej).
• Wartość -1 oznacza całkowicie ujemny związek liniowy (im więcej, tym mniej).
• Wartość 0 oznacza brak związku liniowego. Nie wyklucza to związku nieliniowego.

Teraz można ostatecznie zinterpretować siłę związku. Ilustruje to poniższa tabela:

Aby wcześniej sprawdzić, czy istnieje związek liniowy, należy przeanalizować wykresy rozrzutu. W ten sposób można również wizualnie ocenić zależność między zmiennymi. Korelacja Pearsona jest użyteczna i sensowna tylko wtedy, gdy występują zależności liniowe.

Założenia korelacji Pearsona

Korelacja Pearsona opisuje związek liniowy, dlatego przed jej interpretacją należy sprawdzić wykres rozrzutu. Przy wnioskowaniu statystycznym zakłada się ponadto dwuwymiarowy rozkład normalny danych. Rozkład normalny można sprawdzić analitycznie albo graficznie za pomocą wykresu Q-Q. To, czy zmienne są liniowo skorelowane, najlepiej sprawdzić za pomocą wykresu rozrzutu. Jeśli dane nie spełniają tych założeń, można rozważyć korelację Spearmana.

Korelacja rang Spearmana

Analizę korelacji Spearmana stosuje się do obliczania związku między dwiema zmiennymi, które mają porządkowy poziom pomiaru. Korelacja rang Spearmana jest nieparametryczną miarą zależności monotonicznej. Stosuje się ją między innymi dla danych porządkowych lub wtedy, gdy zależność jest monotoniczna, ale nie liniowa. Nie wymaga ona rozkładu normalnego danych. W tym kontekście często używa się określeń „korelacja Spearmana” lub „rho Spearmana”, gdy chodzi o korelację rang Spearmana.

Pytania, na które można odpowiedzieć za pomocą korelacji rang Spearmana, są podobne do pytań dotyczących współczynnika korelacji Pearsona, np. „Czy istnieje korelacja między dwiema zmiennymi lub cechami?”. Na przykład: „Czy w populacji Francji istnieje korelacja między wiekiem a religijnością?”.

Obliczenie korelacji rang opiera się na systemie rangowania szeregów danych. Oznacza to, że do obliczeń nie wykorzystuje się samych wartości pomiarów, lecz przekształca się je na rangi. Następnie test wykonuje się na podstawie tych rang.

Dla współczynnika korelacji rang ρ możliwe są wartości od -1 do 1. Jeśli wartość jest mniejsza od zera (ρ < 0), występuje ujemna zależność monotoniczna. Jeśli wartość jest większa od zera (ρ > 0), występuje dodatnia zależność monotoniczna. Jeśli wartość wynosi zero (ρ = 0), nie ma zależności monotonicznej. Nie wyklucza to innego rodzaju związku. Siłę korelacji można orientacyjnie sklasyfikować następująco:

Korelacja punktowo-dwuseryjna

Korelację punktowo-dwuseryjną stosuje się, gdy jedna ze zmiennych jest dychotomiczna, np. studiował(a) i nie studiował(a), a druga ma metryczny poziom pomiaru, np. wynagrodzenie.

Obliczanie korelacji punktowo-dwuseryjnej przebiega tak samo jak obliczanie korelacji Pearsona. Aby ją obliczyć, jedną z dwóch kategorii zmiennej dychotomicznej koduje się jako 0, a drugą jako 1.

Oblicz analizę korelacji w numiqo

Student chce sprawdzić, czy istnieje korelacja między wzrostem a masą ciała uczestników kursu statystyki. W tym celu pobrał próbę, którą opisano w poniższej tabeli.

Aby przeanalizować zależności liniowe za pomocą analizy korelacji, możesz obliczyć korelację w numiqo. Najpierw skopiuj powyższą tabelę do kalkulatora statystycznego. Następnie kliknij „Korelacja” i wybierz dwie zmienne z przykładu. Na końcu otrzymasz następujące wyniki.

Najpierw otrzymasz hipotezę zerową i hipotezę alternatywną. Hipoteza zerowa brzmi: „Nie ma korelacji między wzrostem a masą ciała”. Następnie otrzymasz współczynnik korelacji i wartość p. Jeśli klikniesz „Podsumowanie słowne”, otrzymasz następującą interpretację:

Kierunkowa (jednostronna) hipoteza korelacyjna

Oczywiście w numiqo możesz także wybrać obliczenie hipotezy kierunkowej.

W takim przypadku wartość p oblicza się dla kierunku określonego w hipotezie alternatywnej, czyli tutaj dla dodatniej korelacji wzrostu i masy ciała. Rozpatrywana jest tylko jedna strona rozkładu. numiqo wykonuje obliczenie automatycznie. Podsumowanie słowne wygląda wtedy tak: