Test chi-kwadrat

Test chi-kwadrat to test hipotezy stosowany do sprawdzenia, czy istnieje zależność między dwiema zmiennymi kategorialnymi.

Czym są zmienne kategorialne? Zmienne kategorialne to na przykład płeć osoby, preferowana gazeta, częstotliwość oglądania telewizji lub najwyższy poziom wykształcenia. Gdy chcesz sprawdzić, czy istnieje zależność między dwiema zmiennymi kategorialnymi, używasz testu Chi².

Załóżmy, że chcemy zbadać, czy istnieje związek między płcią a najwyższym poziomem wykształcenia. W tym celu tworzymy kwestionariusz, w którym uczestnicy zaznaczają swoją płeć oraz najwyższy osiągnięty poziom wykształcenia. Wynik ankiety jest następnie przedstawiany w tabeli kontyngencji.

Test chi-kwadrat służy do zbadania, czy istnieje zależność między płcią a najwyższym poziomem wykształcenia.

Wskazówka: W numiqo możesz obliczyć test chi-kwadrat online. Wystarczy przejść do kalkulatora testu chi-kwadrat.

Zastosowania testu chi-kwadrat

Test chi-kwadrat ma różne zastosowania; można go użyć do odpowiedzi na następujące pytania:

1) Test niezależności

Czy dwie zmienne kategorialne są od siebie niezależne? Na przykład, czy płeć ma wpływ na to, czy dana osoba ma subskrypcję Netflix, czy nie?

2) Test zgodności rozkładu

Czy obserwowane wartości zmiennych kategorialnych są zgodne z wartościami oczekiwanymi? Jedno z pytań może brzmieć: czy jedna z trzech usług streamingowych, Netflix, Amazon i Disney, jest subskrybowana częściej niż przeciętnie?

3) Test jednorodności

Czy dwie lub więcej prób pochodzi z tej samej populacji? Przykładowe pytanie może dotyczyć tego, czy częstości subskrypcji trzech usług streamingowych Netflix, Amazon i Disney różnią się w różnych grupach wiekowych.

Obliczanie chi-kwadrat

Wartość chi-kwadrat oblicza się według wzoru:

Aby wyjaśnić obliczanie wartości chi-kwadrat, odwołujemy się do następującego przypadku: dla zmiennych one i two z kategoriami A i B dokonano obserwacji lub istnieje próba. Teraz chcemy sprawdzić, czy liczebności z próby odpowiadają liczebnościom oczekiwanym w populacji.

Za pomocą powyższego równania można teraz obliczyć chi-kwadrat:

Po obliczeniu chi-kwadrat potrzebna jest liczba stopni swobody df. Jest ona dana wzorem

gdzie

• p: liczba wierszy
• q: liczba kolumn

Z tabeli rozkładu chi-kwadrat

można teraz odczytać krytyczną wartość chi-kwadrat. Dla poziomu istotności 5% i df równego 1 otrzymujemy 3,841. Ponieważ obliczona wartość chi-kwadrat jest mniejsza, nie ma istotnej różnicy.

Jako założenie tego testu należy pamiętać, że liczebności oczekiwane powinny wynosić co najmniej 5 w przynajmniej 80% komórek; żadna nie powinna być mniejsza niż 1.

Test niezależności chi-kwadrat

Test niezależności chi-kwadrat stosuje się, gdy dwie zmienne kategorialne mają zostać sprawdzone pod kątem niezależności. Celem jest analiza, czy wartości cechy pierwszej zmiennej są zależne od wartości cechy drugiej zmiennej i odwrotnie.

Na przykład: czy płeć ma wpływ na to, czy dana osoba ma subskrypcję Netflix, czy nie? Dla dwóch zmiennych: płeć ("mężczyzna", "kobieta") oraz posiadanie subskrypcji Netflix ("tak", "nie") sprawdza się, czy są one niezależne. Jeśli tak nie jest, między zmiennymi istnieje zależność.

Pytanie badawcze, na które można odpowiedzieć za pomocą testu chi-kwadrat, brzmi: czy cechy płeć i posiadanie subskrypcji Netflix są od siebie niezależne?

Aby obliczyć chi-kwadrat, trzeba podać liczebności obserwowane i oczekiwane. W teście niezależności liczebność oczekiwana to ta, która wynikałaby z niezależności obu zmiennych. Jeśli dwie zmienne są niezależne, liczebności oczekiwane poszczególnych komórek otrzymuje się ze wzoru

gdzie i oraz j oznaczają odpowiednio wiersze i kolumny tabeli.

Dla fikcyjnego przykładu z Netflix można użyć następujących tabel. Po lewej znajduje się tabela z liczebnościami obserwowanymi w próbie, a po prawej tabela, która powstałaby przy pełnej niezależności.

Chi-kwadrat oblicza się wtedy jako

Z tabeli chi-kwadrat można teraz ponownie odczytać wartość krytyczną i porównać ją z wynikiem.

Założenia testu niezależności chi-kwadrat są takie, że obserwacje pochodzą z próby losowej, a liczebności oczekiwane spełniają opisane wyżej warunki.

Test zgodności rozkładu chi-kwadrat

Jeśli zmienna ma dwie lub więcej kategorii, można zbadać różnice w częstości występowania poszczególnych wartości.

Test zgodności rozkładu chi-kwadrat, czyli test dobroci dopasowania, sprawdza, czy częstości poszczególnych wartości cechy w próbie odpowiadają częstościom z określonego rozkładu. W większości przypadków ten określony rozkład odpowiada rozkładowi w populacji. W takim przypadku sprawdza się, czy próba pochodzi z danej populacji.

Dla badaczy rynku interesujące może być, czy istnieje różnica w penetracji rynku trzech usług streamingowych Netflix, Amazon i Disney między Berlinem a całymi Niemcami. Liczebność oczekiwana odpowiada wtedy rozkładowi usług streamingowych w całych Niemczech, a liczebność obserwowana wynika z ankiety przeprowadzonej w Berlinie. W poniższych tabelach pokazano fikcyjne wyniki:

Wartość chi-kwadrat wyniesi wtedy

Test jednorodności chi-kwadrat

Test jednorodności chi-kwadrat można wykorzystać do sprawdzenia, czy dwie lub więcej prób pochodzi z tej samej populacji. Przykładowe pytanie może dotyczyć tego, czy częstość subskrypcji trzech usług streamingowych Netflix, Amazon i Disney różni się w różnych grupach wiekowych. Jako fikcyjny przykład przeprowadzono ankietę w trzech grupach wiekowych z następującym wynikiem:

Podobnie jak w teście niezależności chi-kwadrat, wynik ten porównuje się z tabelą oczekiwaną przy założeniu niezależności "dostawców streamingu" i "wieku".

Wielkość efektu w teście chi-kwadrat

Do tej pory wiemy tylko, czy możemy odrzucić hipotezę zerową, czy nie, ale bardzo często ważne jest również poznanie siły zależności między dwiema zmiennymi. Na to pytanie można odpowiedzieć za pomocą wielkości efektu.

W teście chi-kwadrat do obliczenia wielkości efektu można użyć V Cramera. W tym przypadku wartość 0,1 oznacza mały efekt, 0,3 średni, a 0,5 duży. numiqo oczywiście bardzo łatwo obliczy dla Ciebie wielkość efektu.

Wielkość efektu a wartość p

Pamiętaj, że wartość p nie mówi nic o sile związku ani efektu i zależy od wielkości próby! Dlatego należy uwzględnić następujące kwestie:

• Jeśli w populacji istnieje korelacja, im większa próba, tym wyraźniej będzie to widoczne w wartości p.
• Jeśli próba jest bardzo duża, można wykryć także bardzo małe korelacje w populacji.
• Takie małe korelacje w pewnych okolicznościach mogą nie mieć już znaczenia praktycznego.

Dlatego jeśli mamy małą i dużą próbę, a w obu próbach występuje efekt tej samej wielkości, wartości p nadal będą się różnić. Im większa próba, tym mniejsza wartość p, dlatego nawet bardzo małe korelacje można potwierdzić przy bardzo dużej próbie.

W tym miejscu ważną rolę odgrywa wielkość efektu. Dzięki wielkości efektu w teście chi-kwadrat różnice można porównywać między kilkoma badaniami.

Przykład testu chi-kwadrat (test niezależności)

Jako przykład testu chi-kwadrat, w którym sprawdzana jest niezależność, rozważmy używanie parasoli. W deszczowy dzień policzyliśmy, ile kobiet i ilu mężczyzn przychodzi na uniwersytet z parasolem.

Tak działa to w internetowym kalkulatorze statystycznym: po skopiowaniu powyższej tabeli do kalkulatora testów hipotez, możesz obliczyć test chi-kwadrat. W tym celu po prostu kliknij dwie zmienne Płeć i Parasol. W wyniku otrzymasz (1) tabelę kontyngencji, (2) liczebności oczekiwane dla idealnie niezależnych zmiennych oraz (3) test chi-kwadrat

Liczebności oczekiwane dla idealnie niezależnych zmiennych:

Przy poziomie istotności 5% i jednym stopniu swobody tabela wartości chi-kwadrat daje wartość krytyczną 3,841. Ponieważ obliczona wartość chi-kwadrat jest mniejsza niż wartość krytyczna, w tym przykładzie nie ma istotnej różnicy i hipoteza zerowa nie zostaje odrzucona. Merytorycznie oznacza to, że mężczyźni i kobiety nie różnią się częstością używania parasola.

Test zgodności rozkładu

W jednej dzielnicy Wiednia zarejestrowano przynależność partyjną 22 osób. Teraz należy sprawdzić, czy mieszkańcy dzielnicy (próba losowa) mają takie same zachowania wyborcze jak mieszkańcy całego Wiednia (populacja).

Aby obliczyć test chi-kwadrat dla tego przykładu, wystarczy skopiować powyższą tabelę do kalkulatora testów hipotez.

Partia A ma w Wiedniu udział 40%, a partia C 35%. Otrzymasz więc następujące wyniki:

Jeśli poziom istotności ustawiono na 0,05, obliczona wartość p równa 0,876 jest większa od poziomu istotności. Nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Na podstawie tej próby nie wykazano różnicy między zachowaniami wyborczymi mieszkańców dzielnicy i mieszkańców całego Wiednia.