ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Czym jest ANOVA z powtarzanymi pomiarami?

ANOVA z powtarzanymi pomiarami sprawdza, czy średnie w co najmniej trzech powiązanych pomiarach różnią się od siebie. Ci sami uczestnicy są mierzeni wielokrotnie w różnych warunkach lub w różnych punktach czasu.

Jednoczynnikowa analiza wariancji z powtarzanymi pomiarami jest rozszerzeniem testu t dla prób zależnych na więcej niż dwie grupy.

W teście t dla prób zależnych sprawdzaliśmy, czy istnieje różnica między dwoma powiązanymi pomiarami. Jeśli chcemy porównać więcej niż dwa takie pomiary, stosujemy analizę wariancji z powtarzanymi pomiarami.

Czym są próby zależne?

W próbie zależnej zmierzone wartości są ze sobą powiązane. Na przykład, jeśli próba obejmuje osoby po operacji kolana, a osoby te są badane przed operacją oraz tydzień i dwa tygodnie po operacji, jest to próba zależna. Dzieje się tak, ponieważ ta sama osoba była badana w kilku punktach czasu.

Oczywiście nie musi chodzić wyłącznie o ludzi ani o punkty czasu. Ogólniej można powiedzieć: w próbie zależnej te same jednostki badane są mierzone kilkakrotnie w różnych warunkach. Jednostkami badanymi mogą być na przykład ludzie, zwierzęta lub komórki, a warunkami mogą być na przykład punkty czasu albo rodzaje leczenia.

Różnica między analizą wariancji z powtarzanymi pomiarami i bez nich

Jeśli dostępne są trzy lub więcej prób niezależnych, stosuje się ANOVA bez powtarzanych pomiarów. Trzeba jednak uważać, ponieważ założenia oczywiście muszą zostać sprawdzone. Więcej o tym później.

Przykład ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Możesz chcieć sprawdzić, czy terapia po wypadnięciu dysku wpływa na odczuwanie bólu przez pacjenta. W tym celu mierzysz odczuwanie bólu przed terapią, w połowie terapii i na końcu terapii. Następnie chcesz wiedzieć, czy między tymi punktami czasu istnieje różnica.

Czynnikiem jest więc czas, a zmienną zależną nasilenie bólu. Masz teraz przebieg nasilenia bólu u każdej osoby i chcesz sprawdzić, czy średni wynik zmienia się w czasie.

Mówiąc prosto, w przypadku po lewej nasilenie bólu zmienia się w czasie, a w przypadku po prawej pozostaje podobne. Sam taki wykres nie wystarcza do wykazania, że przyczyną zmiany jest terapia.

Pytanie badawcze i hipotezy

Jak brzmi pytanie badawcze w ANOVA z powtarzanymi pomiarami? Pytanie badawcze brzmi: czy średnie w kolejnych pomiarach różnią się od siebie?

Hipoteza zerowa i hipoteza alternatywna są następujące:

• Hipoteza zerowa: średnie w populacji są równe we wszystkich pomiarach.
• Hipoteza alternatywna: nie wszystkie średnie w populacji są równe.

Założenia ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Przejdźmy teraz do założeń ANOVA z powtarzanymi pomiarami, a na końcu pokażę, jak łatwo obliczyć ją online. Jakie są więc założenia?

• Próby zależne: kolejne pomiary tej samej osoby są ze sobą powiązane, ale obserwacje różnych osób powinny być od siebie niezależne.
• Skala metryczna: zmienna zależna musi być metryczna.
• Normalność: reszty modelu powinny mieć w przybliżeniu rozkład normalny. To założenie jest szczególnie ważne przy małej liczebności próby.
• Jednorodność kowariancji (sferyczność): wariancje różnic między wszystkimi kombinacjami różnych grup powinny być równe. To założenie można sprawdzić za pomocą testu sferyczności Mauchly'ego.
• Brak istotnych wartości odstających: wartości odstające mogą mieć nieproporcjonalnie duży wpływ na ANOVA i potencjalnie prowadzić do mylących wyników.

Na przykład wykres QQ lub test Kołmogorowa-Smirnowa można wykorzystać do sprawdzenia, czy dane mają rozkład normalny. Jeśli dane nie mają rozkładu normalnego, stosuje się test Friedmana.

Przy co najmniej trzech pomiarach sferyczność można sprawdzić za pomocą testu Mauchly'ego. Jeśli otrzymana wartość p jest większa niż 0,05, nie ma podstaw do stwierdzenia naruszenia tego założenia.

Jeśli to założenie jest naruszone, można zastosować korekty, takie jak Greenhouse'a-Geissera lub Huynha-Feldta.

Wyniki ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Analiza wariancji z powtarzanymi pomiarami oblicza wartość p dla Twoich danych. Ta wartość p informuje, czy dane dostarczają podstaw do stwierdzenia różnic między powtarzanymi pomiarami.

Jeśli obliczona wartość p jest mniejsza niż wcześniej ustalony poziom istotności, który zwykle wynosi 0,05, hipoteza zerowa zostaje odrzucona. W tym przykładzie wartość p wynosi 0,01, czyli mniej niż 0,05. Dlatego hipoteza zerowa zostaje odrzucona i można przyjąć, że istnieje różnica między różnymi punktami czasu.

Wielkość efektu dla ANOVA z powtarzanymi pomiarami

W ANOVA z powtarzanymi pomiarami wielkość efektu można obliczyć za pomocą cząstkowego eta kwadrat (η_p²). W tym przypadku wariancja wewnątrz osób jest obliczane na podstawie wariancji związanej z badanym efektem i wariancji błędu.

Test post-hoc Bonferroniego

Jeśli wynik ANOVA jest istotny, warto ustalić, między którymi dokładnie punktami czasu występują różnice. Można to sprawdzić za pomocą testu post-hoc Bonferroniego.

W teście post-hoc Bonferroniego w ANOVA z powtarzanymi pomiarami oblicza się wiele testów t dla prób zależnych. Problem z wielokrotnym testowaniem polega jednak na tym, że tak zwany błąd alfa (fałszywe odrzucenie hipotezy zerowej) rośnie wraz z liczbą testów. Aby temu przeciwdziałać, test post-hoc Bonferroniego mnoży otrzymane wartości p przez liczbę testów.

W tym przypadku wykonano 3 testy, dlatego przy obliczaniu testu post-hoc Bonferroniego wartość p uzyskana z testu t została w tle pomnożona przez 3. Jeśli jedna lub więcej wartości p jest mniejsza niż 0,05, stwierdza się istotną różnicę między dwiema grupami. W tym przypadku mamy zatem istotną różnicę między początkiem a końcem oraz między środkiem a końcem.

Oblicz ANOVA z powtarzanymi pomiarami w numiqo

Oblicz ANOVA z powtarzanymi pomiarami w numiqo

ANOVA z powtarzanymi pomiarami można łatwo obliczyć w numiqo. Aby to zrobić, wystarczy przejść do kalkulatora ANOVA z powtarzanymi pomiarami numiqo i skopiować własne dane do tabeli.

Teraz wystarczy wybrać zmienne. Jeśli wybierzesz trzy lub więcej zmiennych metrycznych, analiza wariancji z powtarzanymi pomiarami zostanie obliczona automatycznie.

Otrzymasz wyniki. Wartość p możesz odczytać w tabeli, a jeśli nie wiesz dokładnie, jak interpretować wyniki, kliknij interpretację słowną. Dodatkowo wyniki są wyświetlane na wykresie pudełkowym. Na końcu obliczany jest test post-hoc Bonferroniego.

Ręczne obliczanie ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Jak ręcznie obliczyć analizę wariancji z powtarzanymi pomiarami? Tutaj znajdziesz wzory do obliczenia ANOVA. Załóżmy, że to są nasze dane. Mamy 8 osób, z których każdą zmierzyliśmy w trzech różnych punktach czasu (początek, środek i koniec).

Najpierw możemy obliczyć potrzebne średnie. Na podstawie średnich możemy obliczyć sumę kwadratów i średni kwadrat. Następnie możemy obliczyć wartość F, którą uzyskuje się przez podzielenie średniego kwadratu dla efektu leczenia przez średni kwadrat reszt lub błędu. Na końcu możemy obliczyć wartość p za pomocą wartości F i stopni swobody dla efektu leczenia oraz błędu. Do obliczenia wartości p używamy rozkładu F.